Как решить алгебраическое выражение

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место

Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

Тождественные преобразования:

• могут не влиять на ОДЗ;
• могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
• могут сузить ОДЗ.

Рассмотрим на примере.

Пример 7

Если имеем выражение вида x2+x+3·x, тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

Пример 8

Если взять пример выражения x+3x−3x, то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид (−∞, )∪(, +∞). Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения. 

Пример 9

Если имеется x-1·x-3, тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства (x−1)·(x−3)≥.  Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид (−∞, 1∪3, +∞). После преобразования x-1·x-3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x-1≥,x-3≥

При ее решении получаем, что 3, +∞). Значит, ОДЗ полностью записывается так: (−∞, 1∪3, +∞).

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Пример 10

Рассмотрим пример выражения x-1·x-3, когда х=-1. При подстановке получим, что -1-1·-1-3=8=22. Если это выражение преобразовать и привести к виду x-1·x-3, тогда при вычислении получим, что 2-1·2-3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

Пример 11

Рассмотрим на примере дроби вида xx3+x. Если сократить на x, тогда получаем, что 1×2+1. Тогда ОДЗ расширяется и становится (−∞ )∪(, +∞). Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе. 

Пример 12

Если имеется выражение вида ln x+ln(x+3), его заменяют  на ln(x·(x+3)), опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с (, +∞) до (−∞, −3)∪(, +∞). Поэтому для определения ОДЗ ln(x·(x+3)) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть (, +∞) множества.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Необходимые знания и умения

Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами:

1. скобки;
2. возведение в степень;
3. умножение;
4. деление;
5. сложение;
6. вычитание.

Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.

Применение подобных

К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.

Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные.

Разложение числа на множители

Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение. Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.

Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений — даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей:

• 15x=3(5x);
• 60у2=(15y2)4.

Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются — в этом нет смысла.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например, и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби раскрадываются на простые множители, после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями. В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 22·3. Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

.

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю, его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10. В этом случае имеем .

Ответ:

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя формулы сокращенного умножения: . Теперь хорошо видно, что можно провести сокращение дроби на общий множитель b2·(a+7). Сделаем это .

Краткое решение без пояснений обычно записывают в виде цепочки равенств:

Ответ:

.

Иногда общие множители могут быть скрыты числовыми коэффициентами. Поэтому при сокращении рациональных дробей целесообразно числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример.

Сократите дробь , если это возможно.

Решение.

На первый взгляд числитель и знаменатель не имеют общего множителя. Но все же, попробуем выполнить некоторые преобразования. Во-первых, можно вынести за скобки множитель x в числителе: .

Теперь проглядывается некоторая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x2·y. Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

После проделанных преобразований виден общий множитель, на который и проводим сокращение. Имеем

Ответ:

.

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей заметим, что успех во многом зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2009. — 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Что такое ОДЗ

ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.

Запоминаем!

ОДЗ относится к выражениям. Область определения функции относится к функциям и не относится к выражениям.

Пример 2

Рассмотрим выражение

ОДЗ такого выражения выглядит следующим образом: ( — ∞; 3) ∪ (3; +∞).

Читать запись нужно вот так:
Область допустимых значений переменной x для выражения  — это числовое множество ( — ∞; 3) ∪ (3; +∞).

Пример 3
Рассмотрим выражение

ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.

Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.

Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения

Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.

Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.

Тождественное преобразование может:

• расширить ОДЗ
• никак не повлиять на ОДЗ
• сузить ОДЗ

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Пример 8

Рассмотрим выражение a + 4/a — 4/a

Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление ноль, определяем условие a ≠ 0.

Это условие отвечает множеству (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).

В выражении есть подобные слагаемые, если привести подобные слагаемые, то мы получаем выражение вида a. 

ОДЗ для a — это R — множество всех вещественных чисел. 

Преобразование расширило ОДЗ — добавился ноль. 

Пример 9

Рассмотрим выражение a2 + a + 4 * a

ОДЗ a для этого выражения — множество R.

В выражении есть подобные слагаемые, выполним тождественное преобразование. 

После приведения подобных слагаемых выражение приняло вид  a2 + 5 * a 

ОДЗ переменной a для этого выражения — множество R.

Это значит, что тождественное преобразование никак не повлияло на ОДЗ. 

Пример 10

Рассмотрим выражение

ОДЗ a определяется неравенством (a — 1) * (a — 4) ≥ 0.

Решить такое неравенство можно методом интервалов, что дает нам ОДЗ (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞).

Затем выполним преобразование исходного выражения по свойству корней: корень произведения = произведению корней.

Приведем выражение к виду

ОДЗ переменной a для этого выражения определяется неравенствами:
a — 1 ≥ 0
a — 4 ≥ 0

Решив систему линейных неравенств, получаем множество [4; + ∞).

Отсюда видно, что тождественные преобразования сузили ОДЗ.
От (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞) до [4; + ∞).

Решив преобразовать выражение, внимательно следите за тем, чтобы не допустить сужение ОДЗ.

Запомните, что выполняя преобразование, следует выбирать такие, которые не изменят ОДЗ.

Тебе следует повторить тему — формулы сокращенного умножения!

Что такое выражение в математике?

Выражение в математике — это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике — это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее — это всё состоит из математических выражений.

3+2 — это математическое выражение. с2- d2 — это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число — это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:

5х + 2 = 12

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение — слева, другое — справа.

В общем виде термин «математическое выражение» применяется, чаще всего, чтобы не мычать. Спросят вас, что такое обыкновенная дробь, например? И как ответить?!

Первый вариант ответа: «Это… м-м-м-м… такая штука… в которой… А можно я лучше напишу дробь? Вам какую?»

Второй вариант ответа: «Обыкновенная дробь — это (бодро и радостно!) математическое выражение, которое состоит из числителя и знаменателя!»

Второй вариант как-то посолидней будет, правда?)

Вот в этих целях фраза «математическое выражение» очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике.

Конкретный вид- это другое дело. Это совсем другое дело! У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями — один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями — второй. Для работы с логарифмами — третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то — резко отличаются. Но не пугайтесь этих страшных слов. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.

Здесь мы освоим (или — повторим, кому как…) два основных вида математических выражений. Числовые выражения и алгебраические выражения.

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

• если имеется деление на ноль;
• извлечение корня из отрицательного числа;
• наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
• вычисление логарифма отрицательного числа;
• область определения тангенса π2+π·k, k∈Z и котангенса π·k, k∈Z;
• нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем -1; 1.

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ. Пример 3

Пример 3

Найти ОДЗ выражения x3+2·x·y−4.

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Пример 4

Найти ОДЗ выражения 13-x+1.

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что  при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: ∅.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 5

Найти ОДЗ заданного выражения x+2·y+3-5·x.

Решение

Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x+2·y+3≥. То есть это и есть искомая область допустимых значений.

Ответ: множество x и y, где x+2·y+3≥.

Пример 6

Определить ОДЗ выражения вида 1x+1-1+logx+8(x2+3).

Решение

По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x+1-1≠ . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x+1≥. Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x2+3>. Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1, тогда добавляем еще условия x+8> и x+8≠1.  Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

x+1-1≠,x+1≥,x2+3>,x+8>,x+8≠1

Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ −1, )∪(, +∞).

Ответ: −1, )∪(, +∞)

Допустимые и недопустимые значения переменных

В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.

Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений. 

Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что  такое допустимые и недопустимые значения переменной. 

Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.

Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.

Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.

Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.

Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.

Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называют недопустимыми. 

В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного. 

Пример 1

Рассмотрим выражение

В выражении три переменные (a, b, c). 

Запишем значения переменных в виде: a = 1, b = 1, c = 2.

Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ:

Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных  — недопустимые. 

a = 1, b = 2, c = 1.

Подставим значения переменных в выражение

На ноль делить нельзя. 

Числовые выражения

Примеры числовых выражений

\

\

\

\

\

Каждое из них составлено из чисел и знаков действий. Если соблюдая принятый порядок, выполнить указанные действия, то получится число. Это число называют числовым значением выражения или, короче, значением выражения.Например,

\(\footnotesize 2^4-2^3+2^2-2=10\)

число

\(\footnotesize 10\)

— значение данного выражения.

Выражение может состоять и из одного числа. В этом случае значение выражения есть само число.

Выражение

\(\frac{35}{\textcolor{#3eb489}{48:6}-\textcolor{#ed5fa6}{8}}\)

не имеет числового значения, так как не все указанные действия можно выполнить (деление на нуль невозможно!). О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла.

Таким образом, числовое выражение может или иметь одно значение, или не иметь значения.

Математические термины

Алгебра — это наука, изучающая действия над числовыми и буквенными величинами. Кроме того, она занимается решениями уравнений и связанными с ними действиями. Под буквенными величинами обычно понимают конкретные или переменные числовые значения. Входящие в состав записи буквы могут иметь различные числовые величины. Например, в формуле S * 4 + 12 символом S может быть заменена известная или неизвестная величина или даже целое выражение.

Математики под алгебраическим выражением понимают запись, составленную со смыслом, состоящую из букв и цифр, обозначающих числа. При этом она может содержать скобки и знаки арифметических действий. Исходя из этого простейшего определения можно утверждать, что формулы 2 * k — s, 4 * (y — 3/2), 0,89 * a — g * (9a + 4b), a2 и (29p — 56) / log (a + c) являются примерами алгебраических выражений. Так как буквы в записях обозначают различные числа, то их считают переменными, а само уравнение — выражением с переменной.

Если же значение переменной известно и его можно подставить на место буквенного обозначения, то результат, полученный после выполнения указанных в уравнении действий, называется ответом алгебраического выражения. Но если число, подставляемое вместо буквы, приводит к бессмысленности записи, то оно считается недопустимым. Из этого можно сделать вывод, что одна и та же алгебраическая запись при различных величинах букв может иметь отличные значения.

На практике приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими алгебраическими выражениями, поэтому над ними приходится выполнять ряд действий, правил, законов или использовать свойства для упрощения записи.

Кроме определений здесь применяется понятие «тождественность». Под ним понимают два выражения, для которых при любых значениях переменных, входящих в их состав, будет справедливо их равенство, например, 56* (x+с) = 56 * x + 56 * с.

Числовые выражения.

Что такое числовое выражение? Это очень простое понятие. Само название намекает, что это выражение с числами. Да, так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.

7-3 — числовое выражение.

(8+3,2)·5,4 — тоже числовое выражение.

И вот этот монстр:

тоже числовое выражение, да…

Обычное число, дробь, любой пример на вычисление без иксов и прочих букв — всё это числовые выражения.

Главный признак числового выражения — в нём нет букв. Никаких. Только числа и математические значки (если надо). Всё просто, правда?

И что можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится, бывает, раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые — т.е. делать преобразования выражений. Но об этом чуть ниже.

Здесь же мы разберёмся с таким забавным случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Ну вот совсем ничего! Эта приятная операция — ничего не делать) — выполняется, когда выражение не имеет смысла.

Когда числовое выражение не имеет смысла?

Понятное дело, если мы видим перед собой какую-то абракадабру, типа

3+:)(+)-+

то делать ничего и не будем. Так как непонятно, что с этим делать. Бессмыслица какая-то. Разве что, посчитать количество плюсиков…

Но бывают внешне вполне благопристойные выражения. Например такое:

(2+3) : (16 — 2·8)

Однако, это выражение тоже не имеет смысла! По той простой причине, что во вторых скобочках — если посчитать — получается ноль. А на ноль делить нельзя! Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: «Выражение не имеет смысла!»

Чтобы дать такой ответ, пришлось, конечно, посчитать, что в скобочках будет. А иногда в скобочках такого понаворочено… Ну тут уж ничего не поделаешь.

Запретных операций в математике не так уж много. В этой теме — всего одна. Деление на ноль. Дополнительные запреты, возникающие в корнях и логарифмах обсуждаются в соответствующих темах.

Итак, представление о том, что такое числовое выражение — получили. Понятие числовое выражение не имеет смысла — осознали. Едем дальше.

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1а, если а=, тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

Определение 1

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Определение 2

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Определение 3

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Пример 1

Для примера рассмотрим выражение вида 1x-y+z, где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x=, y=1, z=2, другая же запись имеет вид (,1,2). Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1-1+2=11=1. Отсюда видим, что (1,1,2) недопустимы. Подстановка дает  в результате деление на ноль, то есть 11-2+1=1. 

Алгебраические выражения

Примеры алгебраических выражений

Рассмотрим какое-нибудь , например:

\(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}(\textcolor{#ed5fa6}{a}+1).\)

При

\(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}=\textcolor{#3eb489}{2}\)

его значение равно

\(\footnotesize 6,\)

так как

\(\footnotesize \textcolor{#3eb489}{2}\cdot (\textcolor{#3eb489}{2}+1)=6.\)

При

\(\footnotesize a=8\)

значение этого выражения равно

\(\footnotesize 72,\)

при

\(\footnotesize a=-1\)

— нулю, при

\(\footnotesize a=0\)

тоже нулю.

Если значения переменной

\(\footnotesize a\)

образуют множество

\(\footnotesize A=\begin{Bmatrix} 2; 8; -1; 0 \end{Bmatrix},\)

то значения выражения

\(\footnotesize a(a+1)\)

составят множество

\(\footnotesize B=\begin{Bmatrix} 6; 72; 0 \end{Bmatrix}.\)

Если множество значений переменной, входящей в выражение, не указано, то считается, что переменная принимает все те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, если ничего не сказано о множестве значений переменной

\(\footnotesize p\)

в выражении

\(\footnotesize \frac{p}{2p-6},\)

то имеется в виду, что переменная

\(\footnotesize p\)

принимает любые числовые значения, кроме

\(\footnotesize 3.\)

Значение выражения

\(\footnotesize (x-2y)^2\)

зависит от значений переменных

\(\footnotesize x\)

и

\(\footnotesize y.\)

Пусть переменная

\(\footnotesize x\)

принимает значения из множества

\(\footnotesize X=\begin{Bmatrix} 1; 5 \end{Bmatrix}\)

, а переменная

\(\footnotesize y\)

— из множества

\(\footnotesize Y=\begin{Bmatrix} 1; 2; 5 \end{Bmatrix}\)

\(
(x-2y)^2 = \begin{cases}
81 \leftarrow\textcolor{gray}{если \ x=1, y=5,}\\
9 \leftarrow\textcolor{gray}{если \ x=5, y=1;}
\end{cases}
\)

Каждой паре значений переменных

\(\footnotesize x\)

и

\(\footnotesize y\)

соответствует определенное значение выражения

\(\footnotesize (x-2y)^2\)

причем единственное. Составим всевозможные пары значений

\(\footnotesize x\)

и

\(\footnotesize y\)

и для каждой из них найдем соответствующее значение выражения:

\	\	\
\	\	\
\	\	\
\	\	\
\	\	\
\	\	\
\	\	\

Значения выражения

\(\footnotesize (x-2y)^2\)

образуют множество

\(\footnotesize \begin{Bmatrix} 1; 9; 81; 25 \end{Bmatrix}.\)

Если в выражении с двумя переменными множества их значений не указаны, то считают, что переменные принимают любые значения, при которых данное выражение имеет смысл.

Например, если ничего не сказано о множествах значений переменных

\(\small \textcolor{#3eb489}{x}\)

и

\(\small \textcolor{#ed5fa6}{y}\)

в выражении

\( \frac{5}{\textcolor{#3eb489}{x}-\textcolor{#ed5fa6}{y}},\)

то считается, что переменные

\(\small \textcolor{#3eb489}{x}\)

и

\(\small \textcolor{#ed5fa6}{y}\)

принимают любые не равные между собой значения.