§ как решать линейные уравнения 7 класс

Универсальный метод

Универсальный метод того, как решать линейные уравнения, заключается в сведении сложного уравнения к простому, правила для которого известны. Понятнее будет на примере:

Вроде есть все — и сложение, и вычитание и деление и умножение. Какое правило применять? Непонятно. Давайте упростим это уравнение. Начнем с его левой части: , тогда в левой части будет:

Теперь приведем две дроби и к общему знаменателю:

. Запишем под одним знаменателем:

. Умножим левую и правую части уравнения на 2. По правилам мы можем умножать левую и правую части уравнения (как и делить) на одно и то же число, отличное от нуля, и это не повлияет на его ответ. Тогда, знаменатель в левой части сократится, и мы получим:

А теперь мы просто находим неизвестный множитель:

Делаем проверку:

Вычисляем:

Ответ: .

Метод понятен — постепенными преобразованиями мы привели исходное уравнение к простому, эквивалентному исходному. А затем, просто применили известные правила из начальной школы. Теперь вы знаете, как решать линейные уравнения простые и сложные. Это поможет вам в подготовке к ЕГЭ по математике.

Уравнение первой степени с двумя неизвестными

x2 + y2 = 7.
Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливы все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным (§ 48).
Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида
ax + by = c, (1)
где x и y – неизвестные, a и b (коэффициенты при неизвестных) — данные числа, не равные оба нулю, c (свободный член) — любое данное число.
Примеры уравнений первой степени:
5x – 2y = 1; 3x + y = 4.
Уравнения:
1) 5x – 2y + 3 = 2x + y – 1; 2) y = 1,7x; 3) y = 4x – 9; 4)
после переноса членов, содержащих неизвестные, в левую часть, а известных чисел — в правую часть, приводятся к виду (1), а потому эти уравнения также являются уравнениями первой степени.
Уравнение (1) называется нормальным видом уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Из приведенных примеров видно (пример 2 и 3), что рассмотренные ранее равенства, выражающие прямо пропорциональную и линейную зависимости, являются уравнениями первой степени с двумя неизвестными.
Равенство, выражающее обратно пропорциональную зависимость, например xy = 8, уже не является уравнением первой степени.
Рассмотрим какое-нибудь уравнение с двумя неизвестными, например:
2x – y = 3.
Возьмем какую-либо пару чисел, например: x = 1, y = –1. Подставив эти числа в данное уравнение, получим верное равенство:
2 – (–1) = 3.
Говорят, что эта пара чисел удовлетворяет данному уравнению или что она (эта пара) есть решение данного уравнения.
Возьмем теперь такую пару чисел: x = 2, y = 4.

Подставив эти значения в данное уравнение, получим в его левой части 2 * 2 – 4 = 0. При этих значениях левая часть (нуль) оказалась не равной правой части (т. е. числу 3). Говорят, что пара чисел x = 2, у = 4 не удовлетворяет данному уравнению или что она не есть решение уравнения.

Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y обращает его в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Решим такую задачу.

Задача. Сумма двух чисел равна 6. Чему равно каждое слагаемое?

Обозначим через x и y искомые слагаемые.
Задача приводит к уравнению:
x + y = 6.
Дадим x какое-либо значение, например x = 2, тогда для другого неизвестного y получим уравнение:
2 + y = 6,

из которого найдем у = 4. Пара чисел x = 2, y = 4 дает решение нашей задачи.

Однако вместо x = 2 мы могли бы взять какое-нибудь другое значение для x, например x = 1, и тогда мы нашли бы y = 5. Значит, мы получили еще одно решение уравнения: x = 1, y = 5.

В таблице приведено несколько решений данного уравнения: значения x и y записаны друг под другом, а в нижней строчке показано, что сумма этих значений равна 6.

Ясно, что одному из неизвестных (например, x) можно придать любое значение и, подставив его в данное уравнение, найти соответствующее значение другого неизвестного.

Как видим, задача имеет бесконечное множество решений.

Уравнение не дает определенного ответа на вопрос задачи. Оно лишь указывает на зависимость между двумя неизвестными. На основании этой зависимости, зная значение одного неизвестного, мы могли найти значение и другого.

Итак, уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

Одному из неизвестных можно придать произвольное значение и из данного уравнения найти соответствующее значение другого неизвестного.

Мы уже видели, что в случае линейной (в частности, прямо пропорциональной) зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия. Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Начнем с примера. Возьмем уравнение:
19x – 6y = –4.
Выразив в нем неизвестное y через x, получим:
6y = 19x +4;
Мы видим, что это уравнение представляет собой не что иное, как линейную зависимость
y = kx + b при.

Значит, графиком этого уравнения является прямая линия (черт. 31).

Какое бы уравнение первой степени, содержащее два неизвестных x и y, мы ни взяли, всегда можно выразить одно из неизвестных, например y, через другое (через x) и получить уравнение (равносильное данному), выражающее линейную зависимость y = kx + b. Например, если 2x + 3y = 5, то. Отсюда вывод:

Графиком уравнения первой степени с двумя неизвестными является прямая линия.

Примечание. Мы рассматривали выше уравнения, содержащие два неизвестных, однако может оказаться, что коэффициент при одном из неизвестных будет равен нулю, так что уравнение запишется в виде уравнения с одним неизвестным.

Возьмем, например, уравнение:
x + 2y – 3 = 2(x – y) + 5
Приведем это уравнение к нормальному виду:
3x + 0 * y = 8.

Это уравнение также имеет бесконечное множество решений; ему удовлетворяет любая пара чисел, y, где y – произвольное число. Обычно член 0 * y не пишут и уравнение записывают так: 3x = 8.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)2- 4ac = 4n2 — 4ac = 4(n2- ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n2- ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n2- ac;
если D₁< 0, значит действительных корней нет;
если D₁= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле;
если же D₁> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11×2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100×2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100×2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12×2- 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2×2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2×2- 3x + 7 = 0 перейти к решению 2×2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

x₁ + x₂ = — b/a,
x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3×2- 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Калькулятор раз
Два
Три

Выделение устойчивого выражения

В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить. Так вот, когда мы выносим некий множитель за скобку или заменяем переменную, пытаясь упростить уравнение — это действие по сути и является выделением устойчивого выражения.

Устойчивое выражение — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки или обозначить новой переменной, чтобы упростить уравнение.

Хорошая новость: так или иначе устойчивое выражение можно найти почти в любом трудном уравнении. Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.

Пример 1

3х+1 + 3х — 3х-2 = 35

В данном случае в качестве устойчивого выражения удобно взять 3х-2 как степень с наименьшим показателем. В итоге мы получим:

3х-2(33 + 32 — 1) = 35

3х-2 × 35 = 35

3х-2 = 1

Поскольку 1 равняется любое число в нулевой степени, мы можем записать:

3х-2 = 3

х — 2 = 0

х = 2

Пример 2

5 × 3-3х+1 + 3-3х+2 = 24

Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3-3х+2 = 3-3х+1+1 = 3 × 3-3х+1.

Теперь у нас есть устойчивое выражение 3-3х+1, которое можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:

3-3х+1(5+3) = 24

8 × 3-3х+1 = 24

3-3х+1 = 31

-3х + 1 = 1

х = 0

Общая формула корней неопределённого уравнения

Предположим, что каким-либо способом (например, путём непосредственных проб) мы нашли одно целочисленное решение неопределённого уравнения: ax+by=с.

Пусть это решение будет х=а и y=β. Подставляя значение x и у в данное уравнение, получим тождество:a a+bβ =c.

Вычитая почленно это тождество из данного уравнения, получим:α(x-α)+b(y-β)=0, откуда:ax=aa — b(y—β), или

Для того чтобы x было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы выражение было целым числом (так как а—число целое). Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы выражение b(y-β) нацело делилось на а. Но, по предположению, b — число взаимно простое с а, следовательно, необходимо (и достаточно), чтобы разность у—β нацело делилась на а. Обозначив целое частное от деления у— β на а через t (оно может быть и положительным и отрицательным), получим: откуда y=β+at.

Подставляя в формулу для х число t вместо дроби , получим: x = a-bt.

Таким образом, мы имеем для корней неопределённого уравнения формулы: x = a-bt, y=β+at.

Давая в этих формулах t произвольные целые значения, положительные и отрицательные, мы получим бесчисленное множество целых решений данного неопределённого уравнения. В частности, при t=0 получим решение х = а; y=β, найденное нами уже ранее.

Присматриваясь к найденным формулам, легко заметить, что они составлены по следующему правилу:

Первым членом формулы является найденное частное значение данного неизвестного.
Вторым членом формул является произвольное целое число t, умноженное на коэффициент данного уравнения, причём в формуле для x берётся коэффициент при у в данном уравнении, а в формуле для у берётся коэффициент при х.
Один из коэффициентов берётся с обратным знаком.

Нетрудно видеть, что совершенно безразлично, который из коэффициентов мы берём с тем же знаком, с каким он стоит в уравнении и который берём с обратным знаком. В самом деле, формулы:x=a-bt, y=β+at и x=a+bt, y=β -atбудут давать одни и те же решения; только те решения, которые одни формулы дают при положительных значениях t, другие будут давать при равных по абсолютной величине отрицательных значениях t.

Пример:

Дано уравнение: 3x+5y=26.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что уравнение удовлетворяется значениями х=2 и у=4. Тогда все остальные решения найдутся из формул:x=2+5t, у=4—3t, или х=2—5t, y=4+3t.

Давая в этих формулах t произвольные целые значения, будем получать различные целочисленные решения данного уравнения. Например, взяв первые формулы, будем иметь:

t	1	2	3	-1	-2	…
x	2	7	12	17	-3	-8	…
y	4	1	-2	-5	7	10	…

Если бы мы взяли вторые формулы, то те же решения получили бы, давая t последовательно значения: 0; —1; —2; —3; 1; 2 и т. д.

Таким образом, задача решения в целых числах неопределенного уравнения сводится к нахождению какого-либо одного решения.

Способ подстановки

Для нахождения одного решения неопределённого уравнения можно пользоваться следующим способом. Пусть дано уравнение: ах+by=с.

Определим из него одно из неизвестных в зависимости от другого (лучше взять то, у которого коэффициент меньше). Пусть, например, a<b. Тогда:

Будем давать у последовательно значения: 0; 1; 2; 3; … , пока выражение с—by не разделится нацело на а. Допустим, что при у=n выражение с—bn делится нацело на a и даёт в частном m. Тогда:х=m и у=nи дают одно решение данного уравнения. В самом деле, мы имеем: или c-bn=am, am+bn=c.

Последнее равенство показывает, что числа тип удовлетворяют данному уравнению.

Пример:

Дано уравнение: 7x—4у=2.Определим из уравнения у:4y=7x-2,

Давая x последовательно значения: 0; 1; 2; убеждаемся, что при х=2 выражение 7x—2 делится на 4 и даёт в частном 3. Следовательно, мы имеем одно решение: x=2; y=3.

Остальные решения найдутся по общей формуле:x=2+4t, y=3+7t, или х=2—4t, у=3—7t.

Примечание:

В теории чисел доказывается, что если а и b — числа взаимно простые, то среди чисел: 0; 1; 2; …, (с—1) всегда найдётся одно число у, при котором выражение с—by делится нацело на а. Поэтому, чтобы избежать большого числа испытаний, и рекомендуется брать в качестве делителя меньший из коэффициентов а и b.

Замена переменной

Этот способ решения показательных уравнений понадобится тем, кто не боится по-настоящему трудных задач. Ведь с помощью ввода новой переменной можно упростить даже самое сложное выражение. Его суть проста: мы заменяем «трудную» переменную на более простую и решаем уравнение, а после производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную стоит заменить.

Пример

4x- 2x+1- 8 = 0

Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4х = 22х, а 2х+1 = 2 × 2х.

22х — 2 × 2х — 8 = 0

Что-то напоминает. Если бы из этого выражения можно было волшебным образом убрать 2х, получилось бы обычное квадратное уравнение. Поэтому мы обозначим 2х новой переменной — допустим, y.

Если 2х = y, получается: у2- 2у — 8 = 0.

У такого уравнения есть два корня: у₁ = 4, у₂ = -2.

Проведем обратную замену: 2х = 4, 2х = -2.

Но мы знаем, что показательная функция в любом случае не может быть отрицательным числом, а значит, 2х = -2 корней не имеет. Следовательно, 2х = 4.

х = 2.

Пример 2

25х — 6 × 5х + 5 = 0

Если присмотреться к этому выражению, становится понятно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную: 5х = у.

у2 — 6у + 5 = 0

Корни такого уравнения: 1 и 5.

Выполним обратную замену:

5х = 1, значит х = 0.

5х = 5, значит х = 1.

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки или «железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

Выразим из первого уравнения «»
неизвестное «».

Важно!

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так,
чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении «» всё что
содержит «» в левую часть,
а остальное в правую часть по
.

При «» стоит равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.

Теперь, вместо «» подставим во второе уравнение полученное выражение
«» из первого уравнения.

Подставив вместо «» выражение «»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка .

Мы нашли, что «».
Вернемся к первому уравнению «» и вместо «» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «».
Запишем в ответ оба полученных значения.

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

Запомните!

При сложения уравнений системы
левая часть первого уравнения полностью складывается
с левой частью второго уравнения,
а правая часть полностью складывается с
правой частью.

При сложении уравнений мы получили уравнение «».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

Чтобы при сложении неизвестное «» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «» стоял коэффициент
«».

Для этого умножим первое уравнение на «».

Важно!

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

Теперь сложим уравнения.

Мы нашли «».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «» полученное числовое
значение и найдем «».

Пример решения системы уравнения

Выразим из первого уравнения «».

Подставим вместо «» во второе уравнение полученное выражение.

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «» и
найдем «».

Пример решения системы уравнения

Рассмотрим систему уравнений.

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «».

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «» в уравнении.

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «» и
найдем «».

Правила и определения

Основные правила и определения для линейного уравнения с одной переменной.

Равенство с переменной называют уравнением.
Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды)

Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Определение 5

Следствием уравнения f(x)=g(x) будет уравнение p(x)=h(x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Определение 6

Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.

Возьмем несколько примеров таких уравнений.

Пример 3

Так, x·2=32 будет следствием x−3=, поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4) = будет следствием x-2·x-3·x-42x-4, потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3, которые в то же время будут корнями первого.

Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:

Определение 7

Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.

Урок «Уравнения с двумя неизвестными»

Бесплатно

Большинство задач в математике ориентировано на решение стандартных уравнений, содержащих одну переменную. Иногда используется система двух и более уравнений, которые могут включать, соответственно, две и более переменные.

Однако изучим отдельное уравнение, содержащее в своем составе помимо числовых выражений два неизвестных абстрактных выражения. Например:

х2 + 2у = 6

Любое подобное уравнение называется уравнением с двумя переменными. Решением подобного уравнения называется такая пара значений х и у, при которой все выражение преобразуется в равносильное правильное равенство. Используем такие значения для переменных:

х = 2
у = 1
Подставляя в наше уравнение, получим верное равенство:
х2 + 2у = 6
(2)2 + 2(1) = 6
4 + 2 = 6
Таким образом, пара чисел (2, 1) являются решением для уравнения.

х2 + 2у = 6. Отметим, что при записи решения необходимо указывать значения переменных в скобках через запятую, на первое место записывая значение х (это не строго, но утверждено).

Решая первый пример методом подбора, легко найти ещё одну пару решений – например, воспользуемся значениями (4, -5):
х2 + 2у = 6
(4)2 + 2(-5) = 6
16 – 10 = 6
Пара чисел превратила уравнение в правильное равенство, значит, она так же соответствует решению данного уравнения.

Как можно понять из видеоурока, уравнение с двумя переменными имеет множество решений, точнее, множество пар чисел, которые будут соответствовать критериям правильного ответа. Преобразуем первое уравнение следующим образом. Поделим все части равенства на 2:

х2 + 2у = 6
0,5х2 + у = 3
у = 3 – 0,5х2
Полученное выражение у = 3 – 0,5х2 является ничем иным, как функцией – зависимостью одной переменной от второй. Иначе говоря:
у = 3 – 0,5х2
у = f(х)
f(х) = 3 – 0,5х2

Как мы помним из видеоуроков, посвященных основам функций, любая зависимость характеризуется тремя элементами: множеством неких начальных аргументов, формулой преобразования, множеством полученных значений.

В нашем уравнении множество всех реальных решений представлено парами значений х и у – то есть, парными элементами обеих множеств функции. При этом само уравнение представляет собой выражение зависимости между первой и второй переменной.

Помимо того, выражение у = 3 – 0,5х2 имеет точно такие же пары решений, как и х2 + 2у = 6 – поэтому, эти уравнения называются равносильными. Равносильные уравнения получаются в таких случаях:

При осуществлении переноса слагаемых (с учетом инверсии знака) с одной части равенства в другую;
При различных тождественных преобразованиях, не меняющих смысл равенства;
При умножении или делении одновременно обеих частей уравнения на один и тот же коэффициент;

Важно понимать, что, осуществляя различные преобразования в уравнении, нельзя искажать область определения какой-либо из переменных. Большинство тождественных преобразований сохраняют неизменным множество х или у, но бывают неприятные исключения

Рассмотрим такой пример:

у = х(2/(х) + 4)

Для решения этого уравнения логичнее было бы раскрыть скобки: совершить вполне тождественное преобразование, которое почти никогда не затрагивает область определения переменных.

Но в данном случае раскрытие скобок не будет тождественным явлением.

В изначальном варианте представленное уравнение имеет множество решений х, исключая х = 0, так как при данном значении одночлен 2/х потеряет смысл вместе со всем уравнением. Если же мы раскроем скобки, то получим следующее:

у = х(2/(х) + 4) = 2х/х + 4х = 2 + 4х

Как легко заметить, в новом уравнении область определения х является бесконечной, включая х = 0. То есть, множество значений х изменилось, уравнение не является равносильным заданному примеру. Тем не менее, часто подобные упражнения решают обычными преобразованиями. Просто нужно совершать подстановочную проверку, что бы исключить недействительные решения уравнения.

Подавляющее большинство уравнений с двумя переменными преобразуется в аналитические зависимости, после чего совершается подстановка любых двух значений х и вычисляется, таким образом, пара решений х и у. При этом, самих решений, как правило, бесконечное множество. Но есть и небольшие исключения – когда из области определения переменной выпадает какая-либо точка.

Некоторые уравнения с двумя неизвестными имеют только одно решение, например, выражение х2 + у2 = 0 имеет только одну пару корня – (0, 0). А уравнение вида х2 + у2 = -1 не имеет действительных решений вообще.

То же справедливо по отношению к любым подобным уравнениям, которые равны отрицательным числам – ведь квадраты, как и их суммы, в принципе не могут дать отрицательных значений.