Деление дробей: теория и практика

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель  находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби ab на cd, тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель cd, это даст в итоге делимое ab. Получим число и запишем его ab·dc, где dc является обратным cd числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: ab·dc·cd=ab·dc·cd=ab·1=ab, где выражение ab·dc является частным от деления ab на cd.

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь ab на cd, необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: abcd=ab·dc

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление 97 на 53. Результат записать в виде дроби.

Решение

Число 53 – это обратная дробь 35. Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 9753=97·35=9·37·5=2735.

Ответ:9753=2735.

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить 8152465. Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 8152465=2·2·2·5·133·5·2·2·2·3=133·3=139 

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8·6515·24=2·2·2·5·133·5·2·2·2·3=133·3=139

Выделяем целую часть и получаем 139=149.

Ответ: 8152465=149.

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление. В 5 классе ребята это уже знают.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Основные свойства дроби 1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю. 2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. 3. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c. 4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Деление дробных чисел

Деление — арифметическое действие, по которому можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом. А еще деление — это обратное действие умножения.

Свойства деления:

1. При делении на единицу получится такое же число:

a : 1 = a.

2. На ноль делить нельзя.

3. Когда делим ноль на любое число, всегда получаем ноль:

0 : a = 0.

4. Когда делим любое число на само себя получаем единичку:

a : a = 1.

5. Когда делим сумму на какое-либо число, можно разделить на него каждое слагаемое, а потом сложить полученное:

(a + b) : c = a : c + b : c.

6. Когда делим разность на какое-нибудь число, можно разделить на него уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого частного вычесть второе:

(a — b) : c = a : c — b : c.

7. Когда делим произведение двух множителей на число, можно разделить на него любой из множителей и частное умножить на второй множитель:

(a * b) : c = (a : c) · b = a * (b : c).

Записывайся на онлайн обучение по математике, с лучшими учителями! Для учеников с 1 по 11 классы!

Деление обыкновенных дробей

Как делить дробь на дробь? Выполняем следующую последовательность действий:

• числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Как делить дроби с разными знаменателями? Тут все просто: пользуемся правилами выше, поскольку на практике нам неважно, одинаковые знаменатели или нет

Деление дроби на натуральное число

Для деления дроби на натуральное число нужно:

• представить данный делитель в виде неправильной дроби, где числитель равен этому числу, а знаменатель единица;
• произвести деление по предыдущему правилу.

Деление натурального числа на дробь

Чтобы поделить натуральное число на обыкновенную дробь нужно:

• знаменатель делителя умножить на число;
• числитель делителя записать в знаменатель.

Деление на смешанное число

Для деления смешанных чисел необходимо:

• представить числа в виде неправильных дробей
• разделить то, что получилось друг на друга.

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

Деление дробных чисел

Деление — арифметическое действие, по которому можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом. А еще деление — это обратное действие умножения.

Свойства деления:

1. При делении на единицу получится такое же число:

a : 1 = a.

2. На ноль делить нельзя.

3. Когда делим ноль на любое число, всегда получаем ноль:

0 : a = 0.

4. Когда делим любое число на само себя получаем единичку:

a : a = 1.

5. Когда делим сумму на какое-либо число, можно разделить на него каждое слагаемое, а потом сложить полученное:

(a + b) : c = a : c + b : c.

6. Когда делим разность на какое-нибудь число, можно разделить на него уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого частного вычесть второе:

(a — b) : c = a : c — b : c.

7. Когда делим произведение двух множителей на число, можно разделить на него любой из множителей и частное умножить на второй множитель:

(a * b) : c = (a : c) · b = a * (b : c).

Записывайся на онлайн обучение по математике, с лучшими учителями! Для учеников с 1 по 11 классы!

Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:

Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ .

Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:

Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть   представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:

Об этой статье

Соавтор(ы): :

Преподаватель математики, Городской колледж Сан-Франциско

Соавтор(ы): . Грейс Имсон — преподаватель математики с более чем 40 годами опыта. В настоящее время преподает математику в Городском колледже Сан-Франциско, ранее работала на кафедре математики в Сент-Луисском университете. Преподавала математику на уровне начальной, средней и старшей школы, а также колледжа. Имеет магистерскую степень по педагогике со специализацией на руководстве и контроле, полученную в Сент-Луисском университете. Количество просмотров этой статьи: 22 223.

Категории: Математика

English:Divide and Multiply Fractions

Español:dividir y multiplicar fracciones o quebrados

Italiano:Dividere e Moltiplicare le Frazioni

Français:diviser et multiplier des fractions

Nederlands:Breuken vermenigvuldigen of delen

Bahasa Indonesia:Membagi dan Mengalikan Pecahan

中文:进行分数的乘除运算

العربية:ضرب وقسمة الكسور

Tiếng Việt:Nhân và chia phân số

ไทย:หารและคูณเศษส่วน

한국어:분수 나누고 곱하는 방법

Türkçe:Kesirli Sayılarda Çarpma ve Bölme Nasıl Yapılır

Печать

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную ab, необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби ab.

Исходя из правила, имеем  nab=n·ba, а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде nab=n·ba. Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить 25 на 1528.

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 251528=25·2815=25·2815. Сократим дробь и получим результат в виде дроби 4623.

Ответ: 251528=4623.

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить ab на натуральное число n, необходимо умножить только знаменатель на n. Отсюда получим выражение: abn=ab·n.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: abn=abn1=ab·1n=ab·n.

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби 1645 на число 12.

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 164512=1645·12.

Произведем сокращение дроби. Получим 1645·12=2·2·2·2(3·3·5)·(2·2·3)=2·23·3·3·5=4135.

Ответ:164512=4135.

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:

Получили   . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь

Теперь свернем полученное смешанное число:

Таким образом, значение выражения  равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

Пример 2. Найти значение выражения

Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

Теперь вычислим дробные части:

Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число 

Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа  . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

Сложим целые части. Получаем 9

Сворачиваем готовый ответ:

Таким образом, значение выражения  равно .

Полное решение этого примера выглядит следующим образом:

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

• привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
• отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Пример 3. Найти значение выражения 

Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Основные свойства дробей 1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю. 2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. 3. Равными называют a/b и c/d в том случае, если a * d = b * c. 4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Правило вычитания дробей

Вычитание — арифметическое действие, когда от одного числа отнимают другое.

Свойства вычитания:

1. Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а после из результата вычесть другое слагаемое:
   a — (b + c) = (a — b) — c,
   a — (b + c) = (a — с) — b.

1. Скобки в выражении (a — b) — c не имеют значения и их можно опустить:
   (a — b) — c = a — b — c.

1. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся:
   (a + b) — c = (a — c) + b, если a > c или а = с,
   (a + b) — c = (b — c) + a, если b > c или b = с.

1. Если из числа вычесть нуль, получится оно же:
   a — 0 = a.

1. Если из числа вычесть его само, получится нуль:
   a — a = 0.

Записывайтесь на наши дополнительные занятия по математике, для учеников с 1 по 11 классы!

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.

Прежде, чем зафиксировать ответ, важно проверить возможность сокращения. Рассмотрим это правило на примере:

Рассмотрим это правило на примере:

Вычитание дробей с разными знаменателями

Как вычитать дроби с разными знаменателями? Для этого приводим их к общему знаменателю и гаходим разность числителей.

Рассмотрим пример, в котором нужно найти разность 2/9 и 1/15.

Как решаем:

Знаменатели разные, значит найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя. Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (9, 15) = 3 * 3 * 5 = 45

Найдем дополнительные множители. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

45 : 9 = 5,

45 : 15 = 3.

Полученные числа умножим на соответствующие дроби: 

и

Перейдем к вычитанию заданных чисел:

Ответ: 

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа

Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.

Разберем для наглядности пример разности 3 и 6/7.

Как решаем:

Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:

3 = 2 * 7/7.

Произведем разность:

Ответ: две целых одна седьмая.

Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби

Для вычитания натурального числа из обыкновенной дроби нужно последовать тому же алгоритму, что и в предыдущем примере. А именно: перевести натуральное число в вид дроби, привести все к единому знаменателю, найти разность.

Рассмотрим пример разности 3 из 83/21.

Как решаем:

3 = 3/1.

А еще можно вот так:

Представим 83/21 в виде смешанной дроби, для этого разделим делитель на делимое:

 83/21 = 3 * 20/21.

Произведем вычитание:

3 * 20/21 — 3 = 20/21

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

• Раз 
• Два
• Три

Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби  , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Представим число 2 в виде дроби , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:

Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения , не приводя на бумаге никаких вычислений.

Представим, что число 3 это три пиццы:

Нужно вычесть из них . Мы помним, что треть выглядит следующим образом:

Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть

Получилось  (две целых и две трети пиццы).

Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения  обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример 3. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями: