Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Правило действий

По сути, дробь — это вид записи числа. Причём одно и то же число может быть записано по-разному. Например, четыре можно представить как 4/1, 8/2, 4,0. Основное правило, использующееся при сложении дробей с разными числителями и знаменателями, заключается в том, что, если верхнюю и нижнюю часть умножить или разделить на одно и то же число, количественный результат не изменится. Это легко проверить, выполнив простые алгебраические вычисления.

Пусть имеется дробь 3/6. Для того чтобы переписать выражение в десятичный вид, нужно тройку разделить на шесть. В итоге получится ответ: ноль целых пять десятых. Записать его можно как 0,5. Теперь, чтобы проверить утверждение, нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Пусть это будет двойка. Таким образом, выражение примет вид: 3 * 2 / 6 * 2 = 6/12. После деления шести на двенадцать ответ не изменится. Он будет равен 0,5.

Аналогично можно проверить и операцию деления. При этом если верхнюю и левую часть можно разделить на одно и то же число, то выполнение такого действия называют сокращением. А когда числитель и знаменатель не имеют общего делимого (числа, на которое можно сократить), то дробь называют несократимой.

С дробями можно выполнять любые действия: прибавлять, вычитать, перемножать, делить, возводить в степень, извлекать корень. Для всех этих действий существуют строгие правила. Прибавление и вычитание относят к элементарным операциям. Для выполнения этих действий не нужно знать сложные формулы и теоремы. Следует лишь запомнить простое правило: для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему делителю, а после просто выполнить складывание числителей без изменения нижней дробной части.

Общий знаменатель алгебраических дробей

Если говорить про обыкновенные дроби, то общим знаменателем является такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Для обыкновенных дробей 12 и 59 число 36 может быть общим знаменателем, так как без остатка делится на 2 и на 9.

Общий знаменатель алгебраических дробей определяется похожим образом, только вместо чисел используются многочлены, так как именно они стоят в числителях и знаменателях алгебраической дроби.

Определение 1

Общий знаменатель алгебраической дроби – это многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.

В связи с особенностями алгебраических дробей, речь о которых пойдет ниже, мы чаще будем иметь дело с общими знаменателями, представленными в виде произведения, а не в виде стандартного многочлена.

Пример 1

Многочлену, записанному в виде произведения 3·x2·(x+1), соответствует многочлен стандартного вида 3·x3+3·x2. Этот многочлен может быть общим знаменателем алгебраических дробей 2x, -3·x·yx2 и y+3x+1 , в связи с тем, что он делится на x, на x2 и на x+1. Информация о делимости многочленов есть в соответствующей теме нашего ресурса.

Какие бывают дроби

Дробь — это число, которое состоит Дробь из одной или из нескольких равных частей единицы. Говоря упрощённо, это число обозначает часть чего‑либо, например один кусок торта, или целое с несколькими дополнительными частями, например один целый торт и ещё три куска другого.

Обыкновенные дроби состоят из числителя (вверху) и знаменателя (внизу), разделённых горизонтальной или косой чертой. Знаменатель отражает то, на сколько частей можно разделить наш условный торт, а числитель — сколько из них в наличии: 1 /₂, 3 /₄, 9 /₁₀.

Обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. У правильных числитель меньше знаменателя ( 5 /₈, 7 /₁₅), а у неправильных наоборот — больше ( 8 /₅, 15 /₇). Из неправильной дроби можно выделить целую и дробную части: 1 3 /₅, 2 1 /₇. Получившееся число будет называться смешанной дробью.

Бывают ещё десятичные дроби. У них в знаменателе стоит степень числа 10, и они записываются по‑другому — через запятую: 0,5, 0,98. Хотя десятичные дроби можно представить и в виде обыкновенных: 5 /₁₀, 98 /₁₀₀.

Примеры заданий

Понять принцип сложения дробей, проще всего выполнив несколько практических заданий. Начинать нужно с простых, постепенно переходя к более сложным.

Например, нужно сложить два выражения 2/3 и 4/5. Это простое задание, обычно предлагающееся на школьных уроках. Для того чтобы его выполнить, необходимо воспользоваться алгоритмом решения. Первое что нужно, это найти общий множитель. Пять на три без остатка не делится, десять тоже, а вот число 15 подойдёт. Теперь нужно вычислить дополнительный коэффициент. Для этого первый и второй знаменатели делят на 15. Таким образом, получится: 2 / 3 + 4 / 5 = (2 * 5 + 4 * 3) / 15 = (10 + 12) / 15 = 22/15. В ответе получилась неправильная дробь, поэтому её нужно переписать, выделив целую часть. В итоге решением будет: 2 / 3 + 4 / 5 = 1 7/15.

Более сложные задания обычно включают в себя несколько членов, при этом выражения в них могут быть любыми. Пусть нужно найти решение математической задачи следующего вида: 5/12 — 7/18 + 2/36 + 3 5/6 + 7/4. В этом примере содержится неправильная дробь и смешанная. Согласно правилу, неправильное выражение нужно привести к нормальному виду: 7/4 = (1 * 4 +3) / 4 = 1 * 4 / 4 + (3 / 4) = 1 + ¾ = 1 ¾.

Подставив найденное выражение вместо неправильной дроби, пример примет вид: 5/12 — 7/18 + 2/36 + 3 5/6 + 1 ¾. Самым большим числом в знаменателе является тридцать шесть, оно же будет и общим знаменателем. Каждый знаменатель нужно разделить на 36. Полученное число добавить как коэффициент в числитель, а целые части сложить отдельно: 1 (5 * 3 — 7 * 2 + 5 * 6 + 9 * 3) / 36 = 1 (15 — 14 + 30 + 27) / 36 = 1 (58 / 36). Для того чтобы правильно записать ответ, полученное значение нужно преобразовать в смешанное выражение: 1 (58 / 36) = (1 * 36 + 58) / 36 = 94 / 26 = (94 / 2) / (36 / 2) = 47 / 18 = 2 11/18.

Вычитание смешанных чисел

Рассмотрим три типа вычитания со смешанными числами. В каждом подпункте вы найдете правила и решение примеров с разбором.

Вычитание одного смешанного числа из другого

Первое правило вычитания смешанных чисел

Любое смешанное число можно представить в виде суммы целой и дробной части.

Это значит, что

Исходя из значения дробных частей, вычитание можно выполнять тремя способами.

Если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого , то выполняем вычитание целой части вычитаемого из целой части уменьшаемого, затем выполняем вычитание дробных частей. Вот так:

Пример. Выполните вычитание

Как решаем:

Чтобы решить пример, нужно выяснить, какая из дробных частей больше:

или

Чтобы сравнить две дроби, приведем их к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное 4 и 8 — 16

По правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, чей числитель больше.

Это значит, что

Следуя правилу, выполняем вычитание.

Вычитаем дробные части

НОК = 8

Ответ:

Второе правило вычитания смешанных чисел

Если дробные части смешанных чисел равны. То есть , то их разность равна нулю.

В этом случае разность смешанных чисел равна разности целых частей этих чисел. Вот так:

Пример. Выполните вычитание:

Как решаем:

Дробные части смешанных чисел равны. Это значит, что

Следуя правилу, выполним вычитание:

Ответ:

Третье правило вычитания смешанных чисел

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то вычитание выполняется вот так

Пример. Найдите значение разности смешанных чисел и

Как решаем:

Запишем выражение

Сначала выясним, как из дробных частей больше. Для этого приведем их к НОЗ.
НОК 5 и 15 = 5

Следуя правилу, решаем:

Выполним вычитание дроби из натурального числа:

Ответ:

Вычитание смешанного числа из натурального числа

Четвертое правило вычитания смешанных чисел

Чтобы из целого числа вычесть смешанное число, сначала отнимите от натурального числа целую часть смешанного числа, а затем отнимите от этой разности дробную часть смешанного числа.

Представим правило в виде буквенного выражения:

Пример. Отнимите от натурального числа 15 смешанное число

Как решаем:

Запишем выражение:

Следуя правилу, выполним вычитание целой части смешанного числа из натурального числа:

Ответ:

Вычитание дроби из целого числа

Пятое правило вычитания смешанных чисел

Чтобы вычесть обыкновенную дробь из целого числа, нужно это число представить в виде дроби. Вот так:

Пример. Отнимите от целого числа 6 обыкновенную дробь

Как решаем:

Запишем выражение

Представим натуральное число 6 в виде дроби

Тогда

Ответ:

Шаг

Метод 1 из 2: сложение регулярных дробей

Найдите наименьшее общее кратное(КПК) в знаменателе.Например, для задачи 9/5 + 14/7 кратные 5 равны 5, 10, 15, 20, 25, 30 и 35, а кратные 7 — 7, 14, 21, 28 и 35. • Число 35 — наименьшее общее кратное двух чисел. Поскольку вам нужно сопоставить два знаменателя перед сложением дробей, ищите НОК знаменателей. После этого выбираем самый маленький КПК.

Умножьте числитель и знаменатель, чтобы найти правильный знаменатель.Например, умножьте 9/5 на 7, чтобы получить знаменатель 35. Также умножьте числитель на 7. После этого дробь станет 63/35. Вам нужно перемножить все дроби вместе, чтобы знаменатель был наименьшим общим кратным, которое вы нашли.

Преобразуйте любую другую дробь в эквивалентную дробь.Например, если вы изменили 9/5 на 63/35, вы должны умножить 14/7 на 5, чтобы получить дробь 70/35. Первоначальная сумма 9/5 + 14/7 теперь изменилась на 63/35 + 70/35

Обратите внимание, что при корректировке первой дроби в задаче вам также потребуется настроить другие дроби, чтобы они были эквивалентными. Сложите два числителя, не меняя знаменателя.Например, 63 + 70 = 133

Запишите сумму над знаменателем, чтобы получить 133/35. После того, как знаменатели в двух дробях совпадают, сложите числители. Поставьте ответ над знаменателем.

При необходимости упростите или сократите ответы.Например, 133/35 можно уменьшить до 28/35. Эту дробь также можно уменьшить до 4/5, так что окончательный ответ на вашу задачу сложения будет 3 4/5. Если числитель больше знаменателя (так называемая неправильная дробь), преобразуйте дробь в смешанное число. Чтобы изменить его, разделите числитель на знаменатель, пока не получите целое число. После этого проверьте остаток от деления и поместите остаток над знаменателем. Сведите к минимуму дробь, если ее можно упростить.

Метод 2 из 2: Добавление смешанных фракций

Преобразуйте смешанное число в правильную дробь.

Например, 6 3/8 + 9 1/24 можно преобразовать в 51/8 + 217/24.

Если вы получили дробь с целым числом, преобразуйте ее в обычную дробь, чтобы было легче сложить. Числитель вашей дроби станет больше знаменателя.
Ищи это наименьший общий множитель если необходимо.

Поскольку число, кратное 8, включает 8, 16, 24, 32 и 48, а число, кратное 24, включает 24, 48 и 72, число 24 может быть выбрано как наименьшее общее кратное.

Если знаменатели двух дробей различаются, вам нужно будет записать кратные для каждого знаменателя, чтобы вы могли найти такое же кратное. Например, для задачи 51/8 + 217/24 запишите числа, кратные 8 и 24, пока не найдете 24.
Преобразуйте дробь в эквивалентную дробь, если вам нужно изменить знаменатель.

Например, чтобы изменить знаменатель с 51/8 на 24, вы должны умножить всю дробь на 3. Вы получите дробь 153/24 из произведения.

Все знаменатели необходимо заменить на наименьшее общее кратное, которое вы нашли ранее. Умножьте целую дробь на указанное число, чтобы изменить знаменатель на общее наименьшее кратное.
Преобразуйте все дроби задачи в эквивалентные.

Например, если у вас есть дробь 217/24, вам не нужно ее корректировать, потому что она уже имеет тот же знаменатель, что и предыдущая дробь.

Если знаменатель другой дроби в задаче отличается, вам также нужно будет умножить его, чтобы он совпадал со знаменателем предыдущей дроби. Если у вас уже есть такой же знаменатель, вам не нужно изменять дробь.
Сложите два числителя, не меняя знаменателя.

Например, 153/24 + 217/24 = 370/24.

Вы можете сложить два числителя после того, как знаменатель будет выровнен (или если они были одинаковыми с самого начала). После того, как два числителя сложатся, напишите ответ над знаменателем. Не складывайте знаменатели двух дробей.
Упростите ответы.

Например, 370/24 можно изменить на 15 10/24, потому что 24 можно умножить на 15, чтобы получить результат, который ближе к 370 и имеет остаток или разницу 10 от произведения с числом 370. Между тем дробь 10/24 можно уменьшить до 5/12, поэтому окончательный ответ, который вы получите, будет 15 5/12.

Если числитель в добавленном произведении больше знаменателя, вам нужно делить, пока не получите целое число. Чтобы найти смешанное число, запишите остаток от деления. После этого поместите остаток от деления над тем же знаменателем. Продолжайте уменьшать дробь, пока не получите самую простую форму.

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

шаг

Метод 1 из 2: сложение регулярных дробей

Найдите наименьшее общее кратное(КПК) в знаменателе.Например, для задачи 9/5 + 14/7 кратные 5 равны 5, 10, 15, 20, 25, 30 и 35, а кратные 7 — 7, 14, 21, 28 и 35. Числа 35 — наименьшее общее кратное двух чисел. Поскольку вам нужно сопоставить два знаменателя перед сложением дробей, ищите НОК знаменателей. После этого выбираем самый маленький КПК.

Умножьте числитель и знаменатель, чтобы найти правильный знаменатель.Например, умножьте 9/5 на 7, чтобы получить знаменатель 35. Также умножьте числитель на 7. После этого дробь станет 63/35. Вам нужно умножить все дроби так, чтобы знаменатель был наименьшим общим кратным, которое вы нашли.

Преобразуйте любую другую дробь в эквивалентную дробь.Например, если вы изменили 9/5 на 63/35, вы бы умножили 14/7 на 5, чтобы получить дробь 70/35. Первоначальная сумма 9/5 + 14/7 теперь изменена на 63/35 + 70/35

Запишите сумму над знаменателем, чтобы получить 133/35. После того, как знаменатели в двух дробях совпадают, сложите числители. Поместите ответ над знаменателем.

При необходимости упростите или сократите ответы.Например, 133/35 можно упростить до 28/35. Эту дробь также можно уменьшить до 4/5, так что окончательный ответ на вашу задачу сложения будет 3 4/5. Если числитель больше знаменателя (так называемая неправильная дробь), преобразуйте дробь в смешанное число. Чтобы изменить его, разделите числитель на знаменатель, пока не получите целое число. После этого проверьте остаток от деления и поместите остаток над знаменателем. Сведите к минимуму дробь, если ее можно упростить.

Метод 2 из 2: Добавление смешанных фракций

Преобразуйте смешанное число в правильную дробь.

Например, 6 3/8 + 9 1/24 можно преобразовать в 51/8 + 217/24.

Если вы получили дробь с целым числом, преобразуйте ее в обычную дробь, чтобы ее было проще сложить. Числитель вашей дроби станет больше знаменателя.
Ищи это наименьший общий множитель если необходимо.

Поскольку число, кратное 8, включает 8, 16, 24, 32 и 48, а число, кратное 24, включает 24, 48 и 72, число 24 может быть выбрано как наименьшее общее кратное.

Если знаменатели двух дробей различаются, вам нужно будет записать кратные для каждого знаменателя, чтобы вы могли найти такое же кратное. Например, для задачи 51/8 + 217/24 запишите кратные числа 8 и 24, пока не найдете 24.
Преобразуйте дробь в эквивалентную дробь, если вам нужно изменить знаменатель.

Например, чтобы изменить знаменатель с 51/8 на 24, вы должны умножить всю дробь на 3. Вы получите дробь 153/24 из произведения.

Все знаменатели необходимо заменить на наименьшее общее кратное, которое вы нашли ранее. Умножьте целую дробь на указанное число, чтобы изменить знаменатель на общее наименьшее кратное.
Преобразуйте все дроби задачи в эквивалентные.

Например, если у вас есть дробь 217/24, вам не нужно ее корректировать, потому что у нее уже есть тот же знаменатель, что и у предыдущей дроби.

Если знаменатель другой дроби в задаче отличается, вам также нужно будет умножить его, чтобы он совпадал со знаменателем предыдущей дроби. Если у вас уже есть такой же знаменатель, вам не нужно изменять дробь.
Сложите два числителя, не меняя знаменателя.

Например, 153/24 +217/24 = 370/24.

Вы можете сложить два числителя после того, как знаменатель будет выровнен (или если они были одинаковыми с самого начала). После того, как два числителя сложатся, напишите ответ над знаменателем. Не складывайте знаменатели двух дробей.
Упростите ответы.

Например, 370/24 может быть изменено на 15 10/24, потому что 24 можно умножить на 15, чтобы получить результат, близкий к 370, и имеет остаток или разницу 10 от произведения с числом 370. Между тем дробь 10/24 может уменьшается до 5/12, поэтому окончательный ответ — 15 5/12.

Если числитель в сумме больше знаменателя, вам нужно делить, пока не получите целое число. Чтобы найти смешанное число, запишите остаток от деления. После этого поместите остаток от деления над тем же знаменателем. Продолжайте уменьшать дробь, пока не получите самую простую форму.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Как складывать дроби

Обыкновенные с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, просто суммируйте их числители, а знаменатели оставьте без изменений. Например: 1 /₅ + 2 /₅ = 3 /_5; 9 /₆ + 10 /₆ = 19 /₆ = 3 1 /₆.

Обыкновенные с разными знаменателями

Сначала нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого найдите наименьшее число, которое без остатка делится на оба ваших знаменателя. Например, для дробей 5 /₆ и 4 /₉ это число 18.

Затем разделите его на ваши знаменатели — и вы получите так называемый дополнительный множитель (18 : 6 = 3, 18 : 9 = 2). Это число, на которое нужно умножить обе части дроби, чтобы привести её к новому знаменателю. То есть: 5 x 3 /_{6 x 3} + 4 x 2 /_{9 x 2} = 15 /₁₈ + 8 /₁₈.

Остаётся только повторить процесс из предыдущего пункта, сложив числители. В нашем примере получится 23 /_18, или 1 5 /₁₈, если выделить целую часть.

Смешанные дроби

Складывать такие дроби можно несколькими способами. Самый простой — суммировать целые и дробные части отдельно. Например, вам нужно сосчитать, сколько будет 3 1 /₅ + 4 2 /₃. Сначала складываем 3 + 4 и получаем 7. Потом переходим к дробным частям: 1 /₅ + 2 /₃ = 1 x 3 /_{5 x 3} + 2 x 5 /_{3 x 5} = 3 /₁₅ + 10 /₁₅ = 13 /₁₅. А вместе — 7 13 /₁₅.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, из неё тоже нужно выделить целое и добавить к полученной ранее целой части.

Десятичные дроби

Первым делом нужно уравнять количество цифр после запятой. Например, вы хотите сложить числа 33,142 и 5,6. Добавьте два нуля ко второй дроби — 5,600. Теперь сложите между собой числа до запятой (33 + 5) и после (142 + 600). Получится 38,742.

Если вы ещё не очень хорошо освоили работу с десятичными дробями, суммируйте их столбиком, как обычные числа. Следите за тем, чтобы запятая была под запятой. Такой метод сложения облегчит вам подсчёты в том случае, когда после запятой появляется «лишняя» цифра.

Например, нужно найти сумму чисел 1,742 и 5,6. Вы уже знаете, что 1 + 5 = 6, а 742 + 600 = 1 342, но в столбике вы сразу увидите, что единицу из 1 342 нужно перенести, добавить к целой части. В итоге получится 7,342.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Суммой двух дробей с одинаковыми знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель — знаменателю дробей, то есть

Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, надо сложить их числители и результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.

Задание. Найти сумму дробей $frac$ и $frac$

Если в результате сложения получается дробь, числитель и знаменатель которой можно сократить, то для конечного результата выполняем и сокращение дроби.

Сложение дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти сумму дробей $frac$ и $frac$

Решение. Складываются дроби с одинаковым знаменателем, поэтому просто складываем числитель, а знаменатель оставляем исходный:

Полученная дробь $frac$ является неправильной, у которой числитель равен знаменателю, и такая дробь равна единице, то есть

Ответ. $frac+frac=1$

4 Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.