Логарифмическое уравнение: решение на примерах. как решать логарифмические уравнения

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выражения7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выражения8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выражения9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216

Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:Обращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Как решать простейшие логарифмические уравнения?

Существует довольно много различных методов решения логарифмических уравнений. К таким способам относится такие своеобразные подходы, как разложение на множители, замена, потенцирование, а также работа с основаниями.

Но какой бы способ решения логарифмического уравнения вы не выбрали, следует знать, что все решения этих уравнений сводятся к тому, что любое логарифмическое уравнение необходимо привести к его простейшему виду:

loga(f(x)) = loga(g(x)),

После того, как вы свели уравнение к такому виду, можете приступать к решению уравнения без логарифмов:

f(x)=g(x).

То есть, чтобы вам было еще более понятно, то следует запомнить, что весь процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к тому, что необходимо перейти от уравнения с логарифмами к уравнению, где логарифмы отсутствуют.

В простых логарифмических уравнениях такой переход осуществляется довольно просто.
Давайте рассмотрим этот процесс на примере.

Вот мы с вами имеем простое логарифмическое уравнение:

log3х = log39

Чтобы получить уравнение без логарифмов, нам необходимо от них избавиться. В этом случае алгебра нам позволяет логарифмы убрать, и вот что в итоге мы получим:

х = 9

Убрать логарифмы таким методом, является одним из основных способов решения логарифмических уравнений или неравенств. Такая своеобразная операция избавления от логарифмов называется потенцирование.

Но даже на такую ликвидацию логарифмов существуют определенные правила.

Без проблем и опасений убрать логарифмы можно в том случае, если:

• Во-первых, они имеют одинаковые числовые основания;
• Во-вторых, что слева, что справа, логарифмы должны быть без всяких коэффициентов, то есть, находится в гордом одиночестве;

Но следует учесть, что при решении уравнений с логарифмами не всегда есть возможность от логарифма избавиться. Так, например, в уравнении:

log3х = 2log3(3х-1)

Убрать логарифм в этом случае не позволяет двойка, которая стоит справа, так как она является коэффициентом.

А если рассмотреть следующий пример, то это уравнение также нельзя потенцировать, так как у него слева не наблюдается одинокого логарифма:

log3х+log3(х+1) = log3(3+х)

Вот мы и пришли с вами к такому выводу, что убирать логарифмы можно только тогда, когда уравнение имеет соответственный вид:

logа(…..) = logа(…..)

В этом уравнении в скобках могут быть любые выражения, но важно, чтобы после того, как мы уберем логарифм, у нас осталось более простое уравнение.

Исследование логарифмической функции

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида

Напомним, что в качестве основания логарифмов выбирается число а> 0, отличное от 1.

Основные свойства логарифмической функции (схема X).

1) Область определения: множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0; + ∞).
2) Монотонность: если а>1, то логарифмическая функция строго возрастает; если 0<а<1, то она строго убывает.
3) Область значений: множество всех вещественных чисел R.

Так как определение логарифмов основано на понятии степени,

то при доказательстве свойств логарифмической функции используют свойства показательной функции.

Свойство 1 в доказательстве не нуждается: оно опирается на определение логарифма числа х, по которому необходимо, чтобы число х было положительным.

Докажем свойство 2. Для этого сначала рассмотрим случай а>1. Возьмем два положительных числа х1 и x2, такие, что x1 <x2, и докажем, что Обозначив первое из этих чисел через t1, второе — через t2, по определению логарифма получим

Если бы выполнялось неравенство t1 ≥ t2, то по свойству монотонности показательной функции выполнялось бы неравенство т. е. Это противоречит условию.

Следовательно, t1<t2, что и требовалось доказать. Случай 0<а<1 рассматривается аналогично.

Свойство 3 утверждает, что всякое вещественное число t может быть логарифмом некоторого числа х. Так как степень определена при любом t, то, взяв х =, получим что и требовалось доказать.

Графики логарифмических функций при различных основаниях показаны на рисунке 108.

Графики функций симметричны друг другу относительно прямой у = х. Действительно, если точка Р {с; d) лежит на графике функции у = ах, то d = ac. Но тогда и точка Q {d; с) лежит на графике функции

Так как точки Р (с; d) и Q (d; с) симметричны относительно прямой у = х (рис. 109), то симметричны и графики показательной и логарифмической функций.

Вместо логарифмических функций с произвольным основанием удобно рассматривать функции вида у = с ln х. Так как то указанные функции исчерпывают все логарифмические функции.

Функция у = ln х растет с ростом х, однако медленнее, чем любая степенная функция вида (k>0), в частности медленнее, чем (схема IX).

Производная логарифмической функции

Рассмотрим две функции у = и у = ln х. Мы знаем, что их графики симметричны относительно прямой у = х. Это поможет нам найти производную логарифмической функции, зная производную экспоненты. Возьмем точку Р (с; d) на графике экспоненты (т. е. d = ec) и симметричную точку Q (d; с) на графике логарифмической функции (т. е. c = lnd). Касательные к графикам в этих точках тоже будут симметричны (рис. 109). Угловой коэффициент k1 касательной к графику экспоненты равен значению производной функции у = ех при х = с, т. е. k1=ec, так как

Пусть a1 и а2 — углы, образованные проведенными касательными с осью абсцисс. Из рисунка 109 ясно, что

Так как

Таким образом, производная функции у = ln х в точке x = d равна

Можно написать:

Мы видим, что производная логарифмической функции y = ln х равна степенной функции . Интересно заметить, что функция не получается как производная какой-либо другой степенной функции вида у = схк. Действительно, хотя при любом к, но получить значение к— 1, равное —1, можно лишь при k = 0, а (x°)’ = 0.

Так как то

По формулам производной показательной функции и

Известно, что ,где k= ln а. Поэтому т. е.

Примеры:

Зная производные экспоненты и логарифма, можно получить приближенные формулы для их вычисления.

Пусть

Разность —это приращение у на отрезке . Вычислив dy при хо = 0, получим dy = y’ (0) dx. Так как у’ = ех, то у'(0)= 1. Заменив ∆у на dy и подставив dx = h, получим приближенную формулу

Более точная формула для вычисления экспоненты такова:

Пусть теперь у =lnх. Выберем дго=1, xо = ln l =0. Положим dx = h и вычислим ln (l+h). Найдем dy при xo=1. Так как

(In то y’ (jc0)= 1 и dy= 1 •dx = h.

Заменяя ∆y= ln (1+h) — ln l = ln (l+h), получаем приближенную формулу

Более точная формула для вычисления логарифма такова:

Пример Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
Делаем проверку
Записываем ответ.

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log_ax и log_ay. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

log_ax+ log_ay= log_a(x·y);

log_ax – log_ay = log_a(x:y).

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот

В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

log_a(xy) = log_ax+ log_ay.

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

log_a(x/_y) = log_ax – log_ay.

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

log₃15 = log₃(3 • 5) =log₃3 + log₃5 = 1 +log₃5.

log₁₀2 + log₁₀5 =log₁₀(2 • 5) = log₁₀l0 =1.

log₃25/₁₆= log₃25 – log₃16.

log₂1000 – log₂125 = log₂1000/₁₂₅= log₂8 = 3.

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

log₂ = log₂(-8) + log₂(-4),

так как выражения log₂(-8) и log₂(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log₂х определена лишь для положительных значений аргументах).

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x₁, x₂, . . . ,x_nсуществует тождество:

log_a(x₁•x₂•x₃… x_k) = log_ax₁+ log_ax₂+ log_ax₃+ … + log_ax_k.

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log_a1= 0, следовательно,

log_a1/_b= log_a1 – log_ab= – log_ab.

А значит имеет место равенство:

log_a1/_b= – log_ab.

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Log₃9= – log₃1/₉>;>51/₁₂₅= -log₅125.

Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:

Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:

Решаем полученное неравенство. Так как основания у логарифмов в обеих частях равны, то их можно отбросить, в результате чего получим:Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением нашего неравенства является:

Такие неравенства являются простыми, так как основания логарифмов, которые присутствовали в наших неравенствах, были четко определены.

Основные свойства логарифмов

Любое число, возведенной в первую степень, равно самому себе. То есть справедливо равенство

а1 = а

Из него, пользуясь определением логарифма, получаем первое важное его свойство: logаa = 1

Продемонстрируем использование этого правила:

Любое число при возведении в нулевую степень равно единице:

Из этого следует второе важное правило: логарифм единицы по любому основанию равен нулю:

Покажем несколько примеров использования этого тривиального правила:

Для получения третьего свойства логарифма запишем очевидно справедливое равенство:

Пользуясь определением логарифма, мы можем записать, что log_aac = c.

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

Это правило можно применить для вычисления некоторых простейших логарифмов:

Логарифм log_ab, согласно одному из своих определений, это та степень, в которую нужно возвести а, чтобы получилось b. Это определение можно представить в виде формулы:

Данное равенство называют основным логарифмическим тождеством.

В силу этого тождества справедливы следующие равенства:

Ограничения, связанные с логарифмом

Заметим, что сам логарифм может оказаться любым вещественным числом, ведь мы умеем возводить числа и в отрицательные, и в дробные, и даже в иррациональные степени. Однако для логарифма log_ab некоторые ограничения накладываются на значение числа а (оно называется основанием логарифма) и на значение числа b (будем называть его аргументом логарифма).

Напомним, что при определении показательной функции у = ах было введено ограничение, согласно которому основание степени (число а) должно быть строго положительным числом и при этом НЕ может равняться единице. Из-за этого и основание логарифма должно также соответствовать этому ограничению. Основание логарифма и основание показательной функции даже специально обозначают одной буквой а, чтобы связь этих двух понятий была очевидней.

Также напомним, что показательное уравнение ах = b имеет решение только при положительных значениях b. Это решение и представляет собой log_ab. Если же число b отрицательно, то корня у уравнения нет, а значит и вычислить log_ab невозможно. Поэтому аргумент логарифма не может быть отрицательным.

Сформулируем эти ограничения в виде одного правила:

Ранее мы уже сталкивались с тремя случаями, когда выражения не имеют смысла. Во-первых, это происходит при делении на ноль (или нахождении нуля в знаменателе дроби, что, по сути, одно и то же). Во-вторых, выражения бессмысленны, если под корнем четной степени находится отрицательное число. В-третьих, не имеют смысла выражения, в которых отрицательные числа возводятся в , ведь возведение в дробную степень можно заменить извлечением корня

а отрицательное число не должно оказываться под знаком корня

Сейчас мы узнали четвертый подобный случай, связанный с понятием логарифма. Больше в рамках школьного не будут рассматриваться никакие другие ситуации, в которых выражение может потерять смысл.

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию $e$. Обозначение — $ln(x)$. Что такое $e$? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, $2,718281828459…$. Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием $e$ часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Логарифм произведения и логарифм частного

loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>)

(5)

logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>)

(6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ.

Действительно, выражение

loga(f(x)g(x))

определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму

logaf(x)+logag(x)

, мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Где используются логарифмы

Некоторые области науки, где применяются логарифмы:

Децибелы, используемые для измерения звукового давления, определяются с помощью логарифмов.
Шкала Рихтера, которая используется для измерения интенсивности землетрясений, определяется с помощью логарифмов
Значения pH в химии, которое используется для определения уровня кислотности вещества, также определяется с использованием понятия логарифма.
Когда две измеренные величины оказываются связанными степенной функцией, параметры функции могут быть оценены с использованием логарифмов.
Логарифмы могут быть использованы для решения уравнений, таких как 2х = 3.

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма $log_{a}(b)$ существует только при положительных значениях основания $a$ и аргумента $b$. И кроме этого на основание накладывается условие, что она не должно быть равно $1$.

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть $0$. А основание не равно $1$, потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь $1$ в любой степени это будет $1$.

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
Разобраться в какую степень $x$ нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
$x$ и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм $9$ по основанию $3$: $log_{3}(9)$

Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
$$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$
Теперь надо разобраться в какую степень $x$ нужно возвести $3^1$, чтобы получить $3^2$
$$ (3^1)^x=3^2, $$
$$ 3^{1*x}=3^2, $$
$$ 1*x=2,$$
$$ x=2.$$
Вот мы и решили:
$$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм $\frac{1}{125}$ по основанию $5$: $log_{5}(\frac{1}{125})$

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1, \qquad \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3};$$
В какую степень $x$ надо возвести $5^1$, чтобы получить $5^{-3}$:
$$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
$$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
$$1*x=-3,$$
$$x=-3.$$
Получили ответ:
$$ log_{5}(\frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм $4$ по основанию $64$: $log_{64}(4)$

Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$
В какую степень $x$ надо возвести $2^6$, чтобы получить $2^{2}$:
$$ (2^6)^x=2^{2}, $$
$$ 2^{6*x}=2^{2},$$
$$6*x=2,$$
$$x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
Получили ответ:
$$ log_{64}(4)=\frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм $1$ по основанию $8$: $log_{8}(1)$

Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$
В какую степень $x$ надо возвести $2^3$, чтобы получить $2^{0}$:
$$ (2^3)^x=2^{0}, $$
$$ 2^{3*x}=2^{0},$$
$$3*x=0,$$
$$x=\frac{0}{3}=0.$$
Получили ответ:
$$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм $15$ по основанию $5$: $log_{5}(15)$

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 \qquad 15= ???;$$
$15$ в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число $a$ не будет являться степенью другого числа $b$. Это довольно просто – нужно разложить $a$ на простые множители.

$16$ разложили, как произведение четырех двоек, значит $16$ будет степенью двойки.

Разложив $48$ на простые множители, видно, что у нас есть два множителя $2$ и $3$, значит $48$ не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля

Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

2х + 3 = 32

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 32 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

2х + 3 = 32

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Ответ: х = 3

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

3х – 5 = 4

3х = 9

х = 3

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Ответ: х = 1

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем ви преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Приведем пример:

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень. Еще примеры:

Еще примеры:

Три основных вида логарифмов

Математика изучает логарифмы с любыми положительными основаниями. Однако на практике наиболее распространены три их вида.

Первым из них является десятичный логарифм, основание которого равно 10. Дело в том, что его помощью до изобретения калькуляторов и компьютеров можно было быстро и с высокой точностью перемножать большие числа, используя такой прибор, как логарифмическая линейка. История понятия логарифма начиналась в XVI-XVII веках и была связана именно с необходимостью выполнения сложных арифметических действий с большими числами. Для обозначения десятичных логарифмов используют специальный символ lg, то есть

Сегодня из-за развития электроники десятичные логарифмы используются значительно реже по сравнению с 50-60 г. XX века. Но, так как почти вся вычислительная техника построена на использовании двоичной системы счета, возросла значимость двоичного логарифма log₂b. Для его обозначения не используются никакие специальные символы, однако в работах, посвященным информатике и оценке сложности алгоритмов, он используется особенно часто.

Наконец, самым важным является натуральный логарифм. Это логарифм, основанием которого является число e, примерно равное 2,71828… Для его обозначения используют символ ln, то есть

Свойства натурального логарифма, которые отличают его от других логарифмов, будут изучены нами позднее, в 11 классе. Заметим лишь, что многие физические формулы содержат именно натуральный логарифм.

Свойства логарифмов

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: log a b=c⇔ a c =b (a>0,a≠1,b>0)

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1

Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a a=1 (a>0,a≠1) (3) log a 1=0 (a>0,a≠1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Действительно, выражение log a (f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f(x)+ log a g(x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e – иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50. Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5. Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

a log a b =b (a>0,a≠1)

log a a=1 (a>0,a≠1)

log a 1=0 (a>0,a≠1)

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Возможно, вас заинтересуют также:

Решение простейших логарифмических уравнений

Как известно, решение простейшего логарифмического уравнения log_ax=b — это x=ab. Другими словами, простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b имеет единственный корень, которым является степень ab.

Приведем пример.

Первый пример. Проще некуда.

Решите уравнение log₅x=2

Решение

Все понятно без слов:log₅x=2x=52x=25

Ответ:

При решении простейших логарифмических уравнений переход от log_ax=b к x=ab, обычно, не представляет сложности. Часто, куда сложнее вычислить значение степени ab или упростить ее вид. Следующие примеры иллюстрируют сказанное.

Второй пример. А вычислить значение?

Решите логарифмическое уравнение

Решение

Это простейшее логарифмическое уравнение. Оно имеет единственный корень . Очевидно, полученная степень нуждается в доработке.

Сначала заменим квадратный корень из семи степенью: .

Теперь используем свойства степеней:

Остается вспомнить, как определяется , и закончить вычисления:

На этом решение простейшего логарифмического уравнения завершено.

Ответ:

Третий пример. Извольте упростить.

Решите уравнение

Решение

Начинаем со стандартного при решении простейших логарифмических уравнений перехода:

Надо бы упростить полученную степень.

Возвести дробь в минус первую степень – это кувыркнуть ее вверх ногами:

Теперь глаза мозолит иррациональность в знаменателе, исправим эту ситуацию:

Таким образом, — искомое решение простейшего логарифмического уравнения.

Ответ:

Логарифм — что это

Логарифмом числа по основанию по основанию (=c)называется такой показатель степени =c)называется такой показатель степени , в которую нужно возвести , чтобы получить , чтобы получить (то есть ). При этом задаются ограничения: ). При этом задаются ограничения: . Значение логарифма может быть любым.

Вычислите:

, , .

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

2. При возведении , значит , значит .

Ответ: 3; -3.

Изобретенные в 17 веке для ускорения вычислений, логарифмы значительно сократили время, необходимое для умножения многозначных чисел. Они были основными в числовой работе более 300 лет, пока совершенство механических вычислительных машин в конце 19 века и компьютеров в 20 веке не сделали их устаревшими для крупномасштабных вычислений. Однако натуральный логарифм (с основанием e ≅ 2.71828 и записываемый как ln n) продолжает оставаться одной из наиболее полезных функций в математике с приложениями к математическим моделям в физических и биологических науках.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом: