Умножение десятичных дробей

Что такое дробь

Дробью называется число, которое состоит из нескольких долей единицы.

Если говорить простым языком, есть у вас торт. Он один, он является одним целым. Но вот вы отрезали от него половину. Это его доля. Всего один целый торт сейчас состоит из двух частей. Одну вы съели (очень уж вкусный был). То есть получается, что вы съели одну часть из двух, на которые вы его разделили. Значит, вы съели ½ торта. В подобном виде можно представить любую вещь, разделив ее на части.

Для того чтобы овладеть умением умножения числа на дробь, не нужно много мудрости или знаний. Достаточно уметь перемножать целые числа. Это довольно похожие понятия и имеют одинаковый смысл.

Умножение целых чисел можно представить в виде сложения равных слагаемых. То есть: 5*2 = 5+5= 10. В принципе, умножать дробь на число — почти такое же занятие. Мы просто находим сумму этих самых слагаемых, которые, кстати, являются одинаковыми.

Как вы могли заметить, подразумевающийся смысл у обоих действий один и тот же — сложение слагаемых.

Теперь же мы можем подняться на новую ступень и попробуем перемножить целое и дробь. Наши примеры будут выглядеть так: 5 • 2/4. Однако прежнее определение для умножения чисел не подходит для этого случая, потому что вы не сможете заменить такое умножение сложением.

Поэтому давайте дадим новое определение для умножения, как же нам теперь нужно понимать это действие.

Суть дроби

Перед тем, как узнать что такое дробь, ребенок должен познакомиться с понятием доля. Здесь лучше всего подойдет ассоциативный метод.

Представьте целый торт, который поделили на несколько равных частей, допустим на четыре. Тогда каждый кусочек торта, можно назвать долей. Если взять один из четырех кусков торта, то он будет одной четвертой долей.

Доли бывают разные, потому что, целое можно поделить на совершенно разное количество частей. Чем больше долей в целом, тем они меньше, и наоборот.

Чтобы доли можно было обозначить, придумали такое математическое понятие, как обыкновенная дробь. Дробь позволит нам записать столько долей, сколько потребуется.

Составными частями дроби являются числитель и знаменатель, которые разделены дробной чертой либо наклонной чертой. Многие дети не понимают их смысла, поэтому и суть дроби им не понятна. Дробная черта обозначает деление, здесь нет ничего сложного.

Знаменатель принято записывать снизу, под дробной чертой или справа от накл.черты. Он показывает количество долей целого. Числитель, он записывается сверху над дробной чертой или слева от накл.черты, определяет сколько долей взяли.К примеру дробь 4/7. В данном случае 7-это знаменатель, показывает, что есть всего 7 долей, а числитель 4 указывает на то, что из семи долей взяли четыре.

Основные доли и их запись в дробях:

Помимо обыкновеной, существует еще и десятичная дробь.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Чтобы перевести простую дробь в десятичную, можно воспользоваться одним из двух способов ниже:

Способ 1

И числитель, и знаменатель умножаем на одно и то же число. При этом число должно быть таким, чтобы знаменатель новой дроби делился нацело на 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

Условие: данный способ подойдет только для таких дробей, знаменатель которых раскладывается на простые множители 2 или 5 (могут повторяться). В результате будет получена конечная десятичная дробь. В остальных случаях для перевода нужно воспользоваться Способом 2, описанным ниже.

Пример 1:

в виде десятичной.

Пример 2:

Заданную дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, т.к. знаменатель 12 раскладывается на простые множители: 2, 2 и 3. А это противоречит упомянутому выше условию.

Способ 2

Этот способ значительно популярнее первого. Алгоритм действий следующий:

Сначала выполняем деление числителя на знаменатель как обычно (в столбик).
Как только мы столкнемся с тем, что остаток от деления больше не делится нацело на делитель, значит:
- в частном ставим запятую;
- к остатку добавляем ноль и продолжаем делить полученное число на делитель, записывая результат уже справа от запятой. И так далее, пока мы не получим остаток, равный нулю (для конечных десятичных дробей) или требуемое количество цифр после запятой (для бесконечных дробей).

ВАЖНО: Смешанную дробь перед превращением в десятичную необходимо представить в виде неправильной. Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду

Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?

Деление десятичной дроби на обычное число

Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:

разделить целую часть десятичной дроби на это число;
после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.

Например, разделим 4,8 на 2

Запишем этот пример уголком:

Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:

Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:

4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2

8 : 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:

Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8 : 2 равно 2,4

Пример 2. Найти значение выражения 8,43 : 3

Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:

Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:

Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 4

Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:

24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:

Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43 : 3 равно 2,81

Правило умножения

Давайте теперь попробуем понять правило, применяемое для умножения:

Для того чтобы умножить целое число на дробь, мы должны умножить числитель этой дроби на нужное нам значение целого числа, а потом получившийся результат поставить числителем новой дроби, а знаменатель новой дроби оставить прежним.

Если понимать это правило с помощью букв, то выглядеть оно будет так:

Но также нам важно помнить об одном очень важном моменте. Перед тем как выполнять умножение, следует сократить все, что сокращается, чтобы облегчить себе жизнь

Например: умножим 15*2/3 = (15*2)/3. Но 15 и 3 можно сократить на 3, остается (5*2)/1. Но мы знаем, что любая дробь, знаменателем которой является 1 — это целое число, которое стоит в числителе. Вот и получается, что (5*2)/1 = 5*2 = 10. Поэтому для упрощения своей же работы рекомендуется сокращать числа.

Итак, вот мы с вами и научились умножать целое число на дробь. Надеюсь, что эта статья очень поможет вам в ваших продвижениях в математике. Широких вам горизонтов!

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби ab на натуральное число n можно записать в виде формулы ab·n=a·nb.

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

ab·n=ab·n1=a·nb·1=a·nb

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 227 на 5.

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10. В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 1027. Все решение приведено в этой записи:

227·5=2·527=1027

Ответ: 227·5=1027

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 512.

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 512·8=5·812=4012. Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2, поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК(40, 12)=4, значит, 4012=404124=103

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 103=313.

В этой записи можно видеть все решение целиком: 512·8=5·812=4012=103=313.

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 512·8=313.

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

ab·n=n·ab=a·nb

Как перемножить десятичную дробь с натуральным числом

Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.

Пример 7

Подсчитайте, сколько будет 15·2,27.

Решение

Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.

Ответ: 15·2,27=34,05.

Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.

Пример 8

Вычислите произведение ,(42) и 22.

Решение

Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.

,(42)=,42+,0042+,000042+…=,421-,01=,42,99=4299=1433

Далее умножаем:

,42·22=1433·22=14·223=283=913

Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9,(3).

Ответ: ,(42)·22=9,(3).

Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.

Пример 9

Вычислите, сколько будет 4·2,145….

Решение

Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:

4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Ответ: 4·2,145…≈8,60.

Одиннадцать друзей умножения

Самый простой и интересный способ умножения двузначного числа — с использованием числа 11. Нужно всего лишь сложить между собой цифры, из которых состоит двузначное число. А по бокам поставить те же самые исходные 2 числа, которые мы складывали. Что получится, если 35 умножить на 11? Складываем 3 + 5 = 8, а по бокам ставим 3 и 5 — 385. Проверяем на калькуляторе. Но что делать, если сумма двух этих чисел больше 10? Куда что ставить? Нужно сделать все ровно так же, только при помощи наложения. Посмотрим на примере 83*11: 8 + 3 = 11. Посередине у нас стоит 11, справа 3, а к первому месту прибавляется 8, итого: 8 + 1 = 9 — это первое число. Далее у нас стояла единица, последней тройка. Собираем: 913. Проверяем. Вуаля!

Вычитание десятичных дробей

При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:

Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:

Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.

Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:

Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.

Пример 3. Найти значение выражения 3,46 − 2,39

Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:

Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:

Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4. Найти значение выражения 3−1,2

В этом примере из целого числа вычитается десятичная дробь. Запишем данное выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,2 оказалась под числом 3

Теперь сделаем количество цифр после запятой одинаковым. Для этого после числа 3 поставим запятую и допишем один ноль:

Теперь вычитаем десятые части: 0−2. От нуля не вычесть число 2. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда, 0 обращается в число 10. Теперь можно вычислить десятые части 10−2=8. Записываем восьмёрку в десятой части нашего ответа:

Теперь вычитаем целые части. Раньше в целой располагалось число 3, но мы заняли у него одну единицу. В результате оно обратилось в число 2. Поэтому из 2 вычитаем 1. 2−1=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 1,8. Значит значение выражения 3−1,2 равно 1,8

3 − 1,2 = 1,8

Примеры с десятичными дробями 5 класс с объяснением

Много вопросов у детей вызывают примеры на несколько действий. Разберем пару таких примеров.

Пример 1.

( 0,4 · 8,25 — 2,025 ) : 0,5 =

Второе действие находится там же в скобках, это разность. От 3,300 вычитаем 2,025. Записываем действие в столбик, запятая под запятой.

Третье действие-деление. Полученную разность во втором действии делим на 0,5. Запятая переносится на один знак. Результат 2,55.

Ответ: 2,55.

Пример 2.

( 0, 93 + 0, 07 ) : ( 0, 93 — 0, 805 ) =

Первое действие сумма в скобках.Складываем в столбик, помним, что запятая под запятой. Получаем ответ 1,00.

Второе действие разность из второй скобки. Так как у уменьшаемого меньше знаков после запятой, чем у вычитаемого, добавляем недостающий. Результат вычитания 0 ,125.

Третьим действие делим сумму на разность. Запятая переносится на три знака. Получилось деление 1000 на 125.

Ответ: 8.

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление — в 5 классе уже это знают.

Дроби могут быть двух видов:

Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя:

3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:

21/4

Такое число называют смешанным, читают как «пять целых одна четвертая», а записывают так: 5 1\4.

Если делитель равен нулю — у дроби нет значения
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет
Две дроби a/b и c/d называют равными, если a * d = b * c.
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится равная ей дробь.

Как умножить дробь на дробь

Числитель равен произведению числителей обеих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Важно проверить возможность сокращения — так решать будет легче:

Как умножить смешанные дроби

Преобразовать смешанные числа в неправильные, перемножить числители и знаменатели, при необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Как умножить дробь на натуральное число

Метод 1. Числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате произведения получилась неправильная дробь, нужно выделить целую часть, то есть превратить неправильную в смешанную.