Квадратные уравнения (8 класс)

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

разделим обе части этого уравнения на отличное от нуля число a, после чего получим приведенное квадратное уравнение:
выделим полный квадрат левой части нового уравнения:
,

после чего уравнение примет вид
перенесем два последних слагаемых в правую часть и сменим знак на противоположный:
преобразуем выражение в правой части:

Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax2 + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения :

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части

При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Повторим:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения

Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b2−4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4×2 + 28x — 49 = 0.

Как решаем:

Найдем дискриминант: D = 282 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень
х = — 28/2(-4)

х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6×2 = 0.

Как решаем:

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1
54 — 6×2 = 0 | *(-1)

6×2 — 54 = 0
Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую
6×2 = 54

х2 = 9

х = ±√9

х₁ = 3, х₂ = — 3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x2— х = 0.

Как решаем:

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители
х(х — 1) = 0

х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x2— 10 = 39.

Как решаем:

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую
x2— 10 = 39

x2= 39 + 10

x2= 49

х = ±√49

х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3×2— 4x+94 = 0.

Как решаем:

Найдем дискриминант по формуле
D = (-4)2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112
Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Получение значений коэффициентов

Первым шагом является получение значений коэффициентов. Хотя верно, что в реальном приложении, где вам нужно решить уравнения второй степени, эти коэффициенты будут поступать из файлов, баз данных или других вычислительных блоков, в данном примере мы будем получать их непосредственно от пользователя, через клавиатуру.

Для получения значения, предоставленного пользователем, можно использовать функцию ввода, которая ждет, пока пользователь введет значение и нажмет клавишу Enter. Значение, предоставленное пользователем, возвращается функцией в виде текстовой строки, которую нам нужно преобразовать в десятичное число с помощью функции float.

В этом случае мы должны запросить у пользователя три значения, так как три – это коэффициенты, которые обрабатываются в уравнении второй степени, которое, как вы помните, имеет следующий вид: ax² + bx + c = 0, где x – неизвестное, которое нужно вычислить, а a, b и c – коэффициенты.

Обратите внимание, что уравнение второй степени не определено, если коэффициент a равен 0, поэтому можно предположить, что значение этого коэффициента всегда будет отлично от 0. Также возможно, что пользователь вводит не числовые значения при запросе

Это нужно проверить в нашей программе, чтобы избежать нарушения выполнения программы. Я не буду рассказывать об этом здесь, чтобы не делать эту статью слишком длинной, но я объясню в другой статье, как запрашивать у пользователя значение до тех пор, пока оно не станет правильным. Следуя указаниям в этой статье, вы можете проверить, что коэффициент a отличен от 0 и что введенные значения являются числовыми

Также возможно, что пользователь вводит не числовые значения при запросе. Это нужно проверить в нашей программе, чтобы избежать нарушения выполнения программы. Я не буду рассказывать об этом здесь, чтобы не делать эту статью слишком длинной, но я объясню в другой статье, как запрашивать у пользователя значение до тех пор, пока оно не станет правильным. Следуя указаниям в этой статье, вы можете проверить, что коэффициент a отличен от 0 и что введенные значения являются числовыми.

Таким образом, для данной программы мы будем считать, что пользователь всегда вводит правильные значения для коэффициентов a, b и c. Запросить их можно следующим образом:

Этот код выводит сообщение, переданное в качестве параметра функции ввода, и ждет, пока пользователь введет значение. После получения значения input возвращает его, затем оно преобразуется в тип float с помощью одноименной функции и присваивается переменной.

Если вы заметили, этот код немного повторяется, так что мы будем использовать специальные возможности Python, чтобы избежать повторений. Эта часть необязательна, поэтому, если вы хотите, вы можете продолжить в следующем разделе, где мы начнем выполнять вычисления, но имейте в виду, что позже, когда я представлю полный код, я буду использовать эти оптимизации.

Чтобы улучшить этот код, я собираюсь использовать функции сжатия и распаковки списков.

Сжатие списка позволяет нам создать список значений, которые в нашем случае будут тремя коэффициентами, с помощью цикла очень простым способом в одной строке. С другой стороны, распаковка позволяет нам извлекать значения из сформированного списка и хранить их непосредственно в трех переменных.

Итак, я могу создать список с тремя значениями (три коэффициента), используя следующий код:

В предыдущем коде я прохожу по кортежу (‘a’, ‘b’, ‘c’), делая вызов input (и соответствующего вызова float) для каждого из его значений. В итоге полученные значения сохраняются в списке.

Теперь настала очередь распаковки.

Так, если, например, я сделаю следующее a, b, c = , то легко увидеть, что значения 1, 2 и 3 будут соответствовать переменным a, b и c и именно в таком порядке.

Комбинируя теперь две предыдущие инструкции, мы можем получить от пользователя три коэффициента для нашего уравнения без повторения кода и в одной строке (предполагая, как и раньше, что значения, введенные пользователем, будут действительными):

Мы могли бы просто сохранить список и продолжать работать со значениями, хранящимися в нем, но код будет сложнее для чтения и менее понятным.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

$х=-{17}/{5}$

$х = — 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Теорема Виета

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac

А вот свойства дискриминанта:

если D < 0, корней нет;
если D = 0, есть один корень;
если D > 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Проверка решений

В качестве дополнения, давайте теперь создадим еще одну функцию для проверки того, является ли число действительным решением, то есть действительным x, для заданного квадратного уравнения.

Для этого нам нужно определить функцию, которая принимает четыре различных параметра, где три из них будут коэффициентами a, b и c, а другой – значением проверяемого x.

Эта функция должна будет подставить эти четыре значения в общее выражение квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 и проверить, что равенство выполняется.

Обратите внимание, что мы должны провести сравнение вещественных чисел. Всякий раз, когда нам приходится это делать, мы должны определить небольшой предел допустимой погрешности, в пределах которого мы можем считать два действительных числа равными

Это связано с тем, что, например, два числа 1.000000 и 1.000001 различны, если сравнивать их с помощью компаратора равенства ==, но в нашем случае мы можем захотеть считать их равными числами.

Таким образом, определив переменную margin как небольшую погрешность, например, 0,0001 (одна десятитысячная), наш код должен будет считать, что два числа, вычитание которых по абсолютной величине (для устранения отрицательного знака результата) меньше этой погрешности, равны. Таким образом, если взять числа d и e, то наше сравнение будет уже не d == e, а abs(d – e) <= margin.

Код нашей функции для проверки правильности решения будет выглядеть следующим образом:

Обратите внимание, что я даю значение по умолчанию параметру margin, чтобы не указывать его в каждом вызове функции valid_solution. Давайте протестируем нашу функцию на нескольких примерах, чтобы увидеть, как она работает:

Давайте протестируем нашу функцию на нескольких примерах, чтобы увидеть, как она работает:

Как вы можете видеть, в первом случае я варьирую margin по своему усмотрению. В остальных случаях я оставляю значение маржи по умолчанию. Результатом выполнения этого кода является:

И это все. Надеюсь, я пролил свет на этот классический пример для изучения программирования.

Упрощение вида квадратных уравнений

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.

К примеру, квадратное уравнение 12·x2−4·x−7= явно удобнее для решения, чем 1200·x2−400·x−700=.

Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200·x2−400·x−700=, полученную делением обеих его частей на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Как пример используем квадратное уравнение 12·x2−42·x+48=. Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6. Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2·x2−7·x+8=.

Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 16·x2+23·x-3= перемножить с НОК(6, 3, 1)=6, то оно станет записано в более простом виде x2+4·x−18=.

Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на −1. К примеру, от квадратного уравнения −2·x2−3·x+7= можно перейти к упрощенной его версии 2·x2+3·x−7=.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

x2 +	b	x +	c	= 0.
a	a

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

если	b	= p, а	c	= q,
a	a

то получится x2 + px + q = 0.

Уравнение x2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x2 + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x2 + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

x2 — 3x + 4 = 0.

Создание функции для решения квадратных уравнений

Теперь мы поместим наш код в функцию, которая получает коэффициенты a, b и c и возвращает решение или решения уравнения. Это удобно, если нам нужно решить несколько уравнений в нашей программе.

Мы будем думать о функции так, чтобы она возвращала список значений, поскольку, как мы видели, реально возможные решения могут быть 0, 1 или 2. Таким образом, достаточно проверить длину списка, возвращаемого нашей функцией, чтобы узнать количество решений уравнения.

Теперь функция не должна ничего выводить на экран, мы позаботимся об этом после вызова нашей функции, поэтому мы уберем вызовы функции print и заменим их в конце инструкциями по добавлению вычисленных решений в список решений.

Кроме того, поскольку наша функция уже получает значения коэффициентов в качестве параметров, нам не нужно делать вызовы input внутри нее. Давайте посмотрим на код:

Обратите внимание, что, хотя мы могли бы запросить у пользователя значения коэффициентов, как мы делали это ранее, в данном случае мы собираемся предоставить их напрямую:

Если мы непосредственно выведем содержимое списка решений, предоставленного нашей функцией, то получим следующее, где видно, что для первого случая у нас есть два решения, для второго нет решения, а для третьего два решения:

Примеры

Пример 1

20x² – 15x – 10 = 0

Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.

1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac <=> D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 <=> значит есть два корня.

2. Ищем эти корни: формула корней

2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539

2.2. Второй корень:

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539

Пример 2

–x² +6x + 18 = 0

a = –1, b = 6, c = 18

Дискриминант D = b² – 4ac

D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 <=> есть два корня

Ищем корни:

a = –1, b = 6, c = 18, D = 108

X1,2 = ((–6) ±√108)/(2×(–1)) =>

x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615

x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615

Как разложить квадратный трёхчлен на множители?

Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0

Мы уже нашли корни

x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539

Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:

20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)

Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем

20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =

20 x²–15x–9,999983042

Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь.

алгоритм решения полного квадратного уравнения

Преобразовать уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$.

Выписать значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$

Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения $2x^2-3x+5=0$, коэффициент $b=-3$, а не $3$.

Вычислить значение дискриминанта по формуле $D=b^2-4ac$.

Вычислить корни уравнения по формулам $x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$.

Примеры:

Решите квадратное уравнение $2x(1+x)=3(x+5)$Решение:

$2x(1+x)=3(x+5)$		Равносильными преобразованиями приведем уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$. Сначала раскрываем скобки.
$2x+2x^2=3x+15$		Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак…
$2x+2x^2-3x-15=0$		…и приводим подобные слагаемые.
$2x^2-x-15=0$		Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
$a=2$, $b=-1$, $c=-15$		Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$.
$D=(-1)^2-4·2·(-15) =1+120=121$		Найдем корни уравнения по формулам $x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1=\frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1+11}{4}=3$ $x_2=\frac{-(-1) — \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1-11}{4}=-2,5$		Записываем ответ:

Ответ: $x_1=3$, $x_2=-2,5$.

Решите квадратное уравнение $x^2+9=6x$Решение:

$x^2+9=6x$		Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$.
$x^2-6x+9=0$		Выпишем коэффициенты.
$a=1$, $b=-6$, $c=9$		Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$.
$D=(-6)^2-4·1·9=36-36=0$		Найдем корни уравнения по формулам $x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1=\frac{-(-6) + \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6+0}{2}=3$ $x_2=\frac{-(-6) — \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6-0}{2}=3$		В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Ответ: $x=3$.

Решите квадратное уравнение $3x^2+x+2=0$Решение:

$3x^2+x+2=0$		Уравнение сразу дано в виде $ax^2+bx+c=0$, преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
$a=3$, $b=1$, $c=2$		Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$.
$D=1^2-4·3·2=1-24=-23$		Найдем корни уравнения по формулам $x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}$ $x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}$		Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Ответ: нет корней.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).. Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета

Это быстрее, но требует определенного навыка.

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение $x^2-7x+6=0$.Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут $6$, а в сумме $7$. Простым подбором получаем, что эти числа: $1$ и $6$. Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).Ответ: $x_1=1$, $x_2=6$.

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты $b$ и $c$.

\(2x(1+x)=3(x+5)\)		Равносильными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Сначала раскрываем скобки.
\(2x+2x^2=3x+15\)		Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак…
\(2x+2x^2-3x-15=0\)		…и приводим подобные слагаемые.
\(2x^2-x-15=0\)		Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
\(a=2\), \(b=-1\), \(c=-15\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=(-1)^2-4·2·(-15) =1+120=121\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1+11}{4}=3\) \(x_2=\frac{-(-1) — \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1-11}{4}=-2,5\)		Записываем ответ:

\(x^2+9=6x\)		Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
\(x^2-6x+9=0\)		Выпишем коэффициенты.
\(a=1\), \(b=-6\), \(c=9\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=(-6)^2-4·1·9=36-36=0\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-(-6) + \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6+0}{2}=3\) \(x_2=\frac{-(-6) — \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6-0}{2}=3\)		В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

\(3x^2+x+2=0\)		Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
\(a=3\), \(b=1\), \(c=2\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=1^2-4·3·2=1-24=-23\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\) \(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)		Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.