Как возвести дроби в квадрат

Примеры решения

Для того чтобы понять и усвоить теорию, нужно попрактиковаться. Начинать необходимо с простых заданий, постепенно переходя к более сложным примерам. Возвести дробь в степень можно и на онлайн-калькуляторах, но желательно уметь выполнять это действие самостоятельно. Из наиболее типичных примеров, охватывающих все возможные ситуации, можно выделить следующие:

1. Возведение дроби с простым показателем. Пусть дан многочлен (11 / 21)2 + (9 / 10)3 , необходимо вычислить ответ. Согласно правилу, сначала следует убрать скобки, а после выполнить сложение. Решение задания будет следующим: ( 11 * 11 ) / (21 * 21 ) + ( 9 * 9 * 9 ) / ( 10 * 10 * 10) = 121 / 441 + 729 / 100 = (121 * 1000) / (441 * 1000) + (729 * 441) / (1000 * 441) = 442489/441000.

1. Решение смешанной дроби с отрицательным показателем. Определить ответ в задании вида: (2 11/12)-1 = ((2 * 12 + 11) / 12)-1 = (35 / 12)-1 = (12 / 35 )1 = 12 1 / 351 =12 / 35.

1. Многоэтажные дроби . Решать их нужно после выполнения упрощения. Так, выражение вида 5 * (2 / 4) * (7 / 11 / 2))-2, решается следующим образом: 5 * (2 / 4 * (7 / 11 / 2))-2 = (((2 * 6 / 10 * 3)) / 3)-2 = (2 / 15)-2 = (15 / 2)2 = 152 / 22 = 225 / 4 = 56 1/4.

1. Вычисление сложных уравнений. Определить верность выражения: (16 / 11) – (2 / 8)-1 + 4 *(-3 / 2)1/2 > e-3. Сначала следует раскрыть все скобки, а уже после выполнить алгебраические операции: (16 / 11 ) – (2 / 8)-1 + 4 *(-3 / 2)2 = 1 – 8 / 2 + 4 * (9 / 4) = 1 – 4 + (-3 * (-3 ) ) / (4 * 4) = -3 + 9/16 = 9/16 – 3/1 = (9 * 1) / (16 * 1)) – (3 * 16) / (1 * 16) = 9 /16 – 48 /16 = (9 -48) / 16 = — 39 / 16 = — 2,43. Так как буквой e обозначают экспоненту, то e-3 = 2,718-3 = 0,049. Отсюда можно сделать вывод, что знак в неравенстве неверный: -2,43 < 0,049

Понятие степени

Представления о степени сложились ещё во времена существования Древнего Египта. Впервые упоминание о её вычислении встречается в знаменитом учебнике по математике Диофанта Александрийского «Арифметика». В своих трудах он описывает понятие как некоторое количество единиц, из которых состоят любые числа, увеличивающиеся до бесконечности. Он выделяет:

• квадраты, образующиеся при произведении чисел или цифр самих на себя;
• кубы, получающиеся при умножении квадрата на сторону;
• биквадраты, произведение квадрата на квадрат;
• квадрато-кубы, возникающие при умножении квадратов на кубы;
• бикубы, произведение кубов на самих себя.

Французский учёный Никола Шюке дополнил этот степенной ряд, введя отрицательный параметр. Современное же обозначение степени предложил Рене Декарт. В «Геометрии» он использовал верхний надстрочный знак для указания величины степени. Что интересно, квадрат математик продолжал обозначать как произведение чисел, то есть в виде n * n. И только потом Лейбниц настоял на универсальной записи для любого возведения в степень.

Под операцией возведения понимается бинарное действие, определяемое в результате умножения числа на себя. То есть справедлива следующая запись: di = d * d* d *… * dk, где k — число, обозначающее количество перемножаемых чисел, равное n. Например, 112 = 11 * 11 = 121. Степень, присущая числу, может быть отрицательной, рациональной, десятичной, вещественной и даже комплексной. Фактически получается, что для того, чтобы посчитать степень числа, его нужно умножить на себя столько раз, сколько указано в степенном показателе.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите -2 в степень 4.

Решение

Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3272

Решение

Данную запись можно переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π.

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

a1=a

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно  73.

Правило возведения дроби

В основе правила возведения дроби в степень лежит её определение с дробным показателем. Согласно ему, для решения задачи нужно отдельно возвести сначала числитель выражения, а затем знаменатель, не меняя занимаемые ими позиции. Например, дробь три шестых во второй степени будет равна: (3/6)2 = 9/36. Используя свойства сокращения дробей, числитель и знаменатель можно разделить на девять. В итоге получится равенство: (3/6)2 = 1/4.

Доказать это правило можно выполнив элементарные алгебраические действия. Для рассмотренного примера, согласно правилу арифметики, сначала необходимо выполнить деление, а после возведение в степень. Так, три разделить на шесть будет равно: 3/6 = 1/2 = 0,5. Затем полученное число следует возвести в квадрат: 0,52 = 0,5 * 0,5 = 0,25. Найденный ответ можно переписать в виде дроби 1/4, которая при сравнении полностью совпадает с ранее вычисленной.

Утверждение справедливо для любого вида дроби с произвольной степенной функцией. Например, (11 / 14)3. Используя закон, можно записать следующее: (11 / 14)3 = 113 / 143 = (11 * 11 * 11) / (14 * 14 * 14) = 1331 / 2744. Эту дробь сократить, то есть упростить, нельзя. Если нужно получить численное значение, то следует просто разделить числитель на знаменатель: 1331 : 2744 = 0,485.

Чтобы убедиться в истинности правила, можно и тут выполнить проверку. Дробь три разделить на пять в степени три можно решить, выполнив сначала деление, а после полученное число возвести в кубическую степень: (11 / 14)3 = (0,78)3 = 0,78 * 0,78 * 0,78 = 0,485. Ответ идентичен предыдущему, что и следовало доказать.

Таким образом, алгоритм возведения будет следующим:

1. Выполнить арифметические действия в скобках, соблюдая первоочерёдность знаков.
2. Упростить полученное выражение, которое необходимо возвести в степень.
3. Числитель умножить на себя столько раз, сколько показывает определитель.
4. Значение, стоящее в знаменателе, умножить на такое количество раз само на себя, которое показывает степень.
5. Полученную дробь упростить или выполнить деление.

Если показатель степени небольшой, то возведение можно выполнить просто умножив дробь на саму себя необходимое число раз. Например, (2/32)3 = (2/32) * (2/32) *(2/32) = 1/4096. Алгоритм обыкновенного расчёта обычно не вызывает трудности, но часто приходиться иметь дело не только с обыкновенными дробями. При этом степень может быть даже отрицательной.

Как возвести в отрицательную степень дробь

Запомните!

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

• «перевернуть» дробь;
• заменить отрицательную степень на
  положительную;
• возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень.
Т.е. возведем и числитель «», и знаменатель «» в третью степень.

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую
очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в
чётную степень, — число
положительное.

Отрицательное число, возведённое в
нечётную степень, — число
отрицательное.

Пример.

Перевернем число «» и заменим отрицательную степень
«» на положительную
«».

Так как степень «» — четная, значит, результат возведения в степень будет
положительный. Поэтому
убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки
и возведем во вторую степень и числитель «», и знаменатель «».

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Запомните!

Отрицательная дробь, возведённая в
чётную степень, — дробь
положительная.

Отрицательная дробь, возведённая в
нечётную степень, — дробь
отрицательная.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень «» на положительную
«».

Теперь определим конечный знак результата возведения в «» степень.

Степень «» — нечетная, значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь
останется отрицательной.

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель «», и знаменатель
«» в третью степень.

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная, значит, результат возведения
будет положительным.

Шаги

1. 1
   Вспомните, как вы возводите в квадрат целые числа — вы умножьте число само на себя, например:

   52 = 5 × 5 = 25

   http://pad2.whstatic.com/images/thumb/5/55/Square-Fractions-Step-1-preview.jpg/550px-Square-Fractions-Step-1-preview.jpg
   http://pad2.whstatic.com/images/thumb/5/55/Square-Fractions-Step-1-preview.jpg/300px-Square-Fractions-Step-1-preview.jpg
   http://d5kh2btv85w9n.cloudfront.net/5/5b/Square Fractions Step 1.360p.mp4

2. 2
   Возведение в квадрат дробей – аналогичный процесс. Например:
   http://pad1.whstatic.com/images/thumb/c/c4/Square-Fractions-Step-2-preview.jpg/550px-Square-Fractions-Step-2-preview.jpg
   http://pad2.whstatic.com/images/thumb/c/c4/Square-Fractions-Step-2-preview.jpg/300px-Square-Fractions-Step-2-preview.jpg
   http://d5kh2btv85w9n.cloudfront.net/1/1b/Square Fractions Step 2.360p.mp4

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   • ( 5/2 )2 = 5/2 × 5/2
   • = ( 52/22 )
   • = ( 25/4 )

3. 3
   Перед возведением дроби в квадрат попробуйте упростить ее. Это облегчит вам процесс возведения дроби в степень. Например:
   http://pad2.whstatic.com/images/thumb/c/c7/Square-Fractions-Step-3-preview.jpg/550px-Square-Fractions-Step-3-preview.jpg
   http://pad3.whstatic.com/images/thumb/c/c7/Square-Fractions-Step-3-preview.jpg/300px-Square-Fractions-Step-3-preview.jpg
   http://d5kh2btv85w9n.cloudfront.net/6/65/Square Fractions Step 3.360p.mp4

   • ( 12/16 )2
   • 12/16 упрощается до 3/4
   • ( 3/4)2 = 9/16 — эту дробь упростить нельзя.

4. 4
   При решении сложных выражений попытайтесь сократить члены выражения, прежде чем возводить дробь в квадрат. Например:
   http://pad3.whstatic.com/images/thumb/8/83/Square-Fractions-Step-4-preview.jpg/550px-Square-Fractions-Step-4-preview.jpg
   http://pad1.whstatic.com/images/thumb/8/83/Square-Fractions-Step-4-preview.jpg/300px-Square-Fractions-Step-4-preview.jpg
   http://d5kh2btv85w9n.cloudfront.net/9/92/Square Fractions Step 4.360p.mp4

   • 16 × (12/16)2
   • 16 * 12/16 * 12/16 = числа 16 можно сократить
   • 12 × 12/16 =
   • 12 × 3/4 = 9 , 12/16 упрощается до 3/4 и умножается на 12.

5. 5
   Научитесь применять альтернативный (быстрый) способ решения выражений. Используя тот же пример, избавьтесь от степени 2:
   http://pad2.whstatic.com/images/thumb/b/b2/Square-Fractions-Step-5-preview.jpg/550px-Square-Fractions-Step-5-preview.jpg
   http://pad2.whstatic.com/images/thumb/b/b2/Square-Fractions-Step-5-preview.jpg/300px-Square-Fractions-Step-5-preview.jpg
   http://d5kh2btv85w9n.cloudfront.net/4/49/Square Fractions Step 5.360p.mp4

   • 16 * ( 12/16 )2
   • = 16 * ( 122/162)
   • = 16 * 122/162, Множитель 16 и 16 в знаменателе можно сократить.
   • = 122/16
   • = 12*12/16 Упрощаем дробь 12/16 до 3/4.
   • = 12 * 3/4 = 9

6. 6
   Ищите различные способы решения. Чем сложнее выражение, тем больше способов его решения (причем вы получите один и тот же ответ).

Рациональный показатель

В состав рациональных чисел входят все целые и дробные значения. По сути, ими называют значения, которые можно представить в виде обыкновенной или отрицательной дроби, как цифру ноль. При этом в числителе находится целое число, а в знаменателе – натуральное. Для того чтобы определить степень, нужно выяснить, что же представляет собой число с показателем в дробной форме.

Пусть имеется число n, которое необходимо возвести в степень a / b. Необходимо будет извлечь корень из n. Чтобы выражение соответствовало таблицам степени, должна выполняться формула: n(a / b) * b = na * b / b = na.

Используя полученное выражение, логично предположить, что ca / b = a√cb, но это лишь справедливо, когда показатель степени целый. Можно сделать вывод о том, что если выражение a√cb справедливо, что степенью числа c дробным показателем b / a является корень из c в степени b.

Если принять, что основание больше либо равно нулю, когда b является положительным числом, то буде справедливым равенство: сa b = a√cb. При этом можно утверждать, что если основание будет равным нулю, то ответом будет тоже ноль: 0a b = a√0b = 0.

Тут нужно оговориться, что для некоторых одночленов приведённое правило не работает. Например, для 3√ (-12 /3)2 или 4√ -122 оно верное, а для (-1 / 3)-2 / 3 или (-3 / 2)2 / 5 не имеет смысла, так как основание не может быть отрицательным. Поэтому вводится условие, по которому выражение a√ cb имеет смысл, при любых значениях неотрицательного основания.

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.

У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень mn, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

Проиллюстрируем на примере.  

Пример 9

Вычислите 8-23.

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8-23=1643=133643=133433=14

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2

После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадрат: 2-2=122=14

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44,89 в степень 2,5.

Решение 

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107

Ответ: 13 501,25107.

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида mn можно придать такой смысл: если mn>, то mn=mn=; если mn< нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 712=, 325=, ,024=, а в целую отрицательную — значения не имеет: -43.

Расчёт на онлайн-калькуляторе

В сети существуют сервисы, автоматически выполняющие арифметические операции. Воспользоваться этими сайтами может каждый, имеющий доступ к интернету. Порталы предлагают свои услуги бесплатно. С их помощью можно находить функции, рассчитывать градусы и углы, решать уравнения и неравенства, вычислять дроби и степени.

Для решения дробей со степенями на онлайн-калькуляторах не нужно обладать какими-то особыми знаниями. Всё что требуется от пользователя — вести в предложенную форму задание и нажать кнопку «Рассчитать». Весь процесс вычисления занимает несколько секунд.

Полезной особенностью таких сайтов является и возможность обучиться правилам расчёта, узнать, как должны обозначаться те или иные операции и действия. Из различных калькуляторов можно выделить три наиболее популярных:

1. Webmath.
2. Onlinemschool.
3. Сalc.by.

Сайты отличаются удобным и понятным интерфейсом. На их страницах содержится кратко изложенная теория, использующаяся для расчётов и типовые примеры.

Примеры, решения

Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 1

Произвести возведение дроби x23·y·z3 в квадрат.

Решение

Необходимо зафиксировать степень x23·y·z32.  По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x23·y·z32=x223·y·z32 . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида

x223·y·z32=x2·232·y2·z32=x49·y2·z6

Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что

x23·y·z32=x223·y·z32=x49·y2·z6

Ответ: x23·y·z32=x49·y2·z6.

Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.

Пример 2

Возвести дробь 2·x-1×2+3·x·y-y  в квадрат.

Решение

Из правила имеем, что

2·x-1×2+3·x·y-y2=2·x-12×2+3·x·y-y2

Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых  в знаменателе, а  в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим:

2·x-12×2+3·x·y-y2==2·x2-2·2·x·1+12×22+3·x·y2+-y2+2·x2·3·x·y+2·x2·(-y)+2·3·x·y·-y==4·x2-4·x+1×4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2

Ответ: 2·x-12×2+3·x·y-y2=4·x2-4·x+1×4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2

Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.