Как вычитать дроби с разными знаменателями

Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.

Пример 1. Разделим дробь  на число 2

Чтобы разделить дробь  на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь 

Пусть имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно дробь  умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.

Исходя из этих соображений, получаем правило сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит два шага:

• во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю);
• во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.

Пример.

Сложите обыкновенные дроби 5/8 и 1/12.

Решение.

Знаменатели складываемых дробей разные, поэтому, сначала нужно выполнить приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Для этого находим НОК(8, 12)=24, находим соответствующие дополнительные множители 24:8=3 и 24:12=2 дробей 5/8 и 1/12, в результате получаем и .

Теперь складываем дроби 15/24 и 2/24, имеем .

Таким образом, сложение дробей с разными знаменателями 5/8 и 1/12 дает дробь 7/24.

Запишем все решение кратко: .

Ответ:

.

Заметим, если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.

Пример.

Выполните сложение дробей с разными знаменателями 12/5 и 2/3.

Решение.

Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к наименьшему общему знаменателю: .

Теперь сложим дроби 36/15 и 10/15, получаем .

Проверим, не является ли полученная дробь сократимой. Для этого вычислим наибольший общий делитель числителя и знаменателя, воспользовавшись алгоритмом Евклида: 46=15·3+1, 15=1·15, следовательно, НОД(46, 15)=1. Таким образом, дробь 46/15 несократима.

Но дробь 46/15 очевидно неправильная, поэтому из нее нужно выделить целую часть. Так как 46:15=3 (ост. 1), то .

На этом сложение дробей с разными знаменателями завершено. Вот краткое решение: .

Ответ:

.

Сложение обыкновенной дроби и натурального числа

Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например, .

Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью (смотрите ). К примеру, .

Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к . Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом: . Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.

Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения .

Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа  в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа   в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.

К примеру, если нужно быстро найти значение выражения , то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)

Тогда от той пиццы, от которой отрезали  останется  пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:

Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь  — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь 

Допустим, имеются три целые пиццы:

Если мы зададим вопрос «cколько раз  (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».

Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:

Поэтому значение выражения  равно 6.

Пример 2. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь 

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз  пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим 

Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз  (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 3. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь . Поэтому умножаем число 5 на 

Дробь  это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:

А выражение  определяет сколько раз  содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .

То есть  пиццы содержится в пяти целых пиццах  раза.

Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по 

Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой  от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в  пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти

Поэтому значение выражения  равно 

Как привести дроби к общему знаменателю, алгоритм

Чтобы осуществить операцию приведения, необходимо применить основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, дробь не изменится. То есть если подобрать правильные множители, то можно привести знаменатели к одному и тому же числу. Искомые множители называют дополнительными.

Это объяснение лежит в основе общего правила приведения дробей.

1. Найти общий знаменатель.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого необходимо разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.
3. Умножить обе части дроби на дополнительный множитель.

Существует несколько способов привести дроби к общему или наименьшему общему знаменателю.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой способ — умножение «крест-накрест». Применяется следующий пошаговый алгоритм:

1. Умножить первую дробь на знаменатель второй дроби.
2. Умножить вторую дробь на знаменатель первой дроби.
3. При возможности — сократить получившиеся выражения.

\(\frac ab^{(d},\frac cd^{(b}=\frac{ad}{bd},\frac{cb}{bd}\)

Примечание

Недостаток этого метода — в размерах вычислений. При умножении могут получиться большие числа, которыми тяжело оперировать.

Метод общих делителей

Иногда один из знаменателей дроби уже делится на другой без остатка. В таком случае нет нужды перемножать их, количество действий сокращается.

1. Поделить больший знаменатель на меньший. Результат деления — это искомый дополнительный множитель.
2. Умножить дробь с меньшим знаменателем на дополнительный множитель. Другую дробь умножать ни на что не нужно.

\(\frac ab^{(x},\frac c{bx}=\frac{ax}{bx},\frac c{bx}\)

Этот метод хорош тем, что является более кратким вариантом умножения «крест-накрест». При этом его невозможно использовать при решении примеров, в которых числа в знаменателях не делятся друг на друга.

Метод наименьшего общего кратного

Суть приведения заключается в том, чтобы найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. К этому числу и необходимо привести знаменатели обеих дробей.

Определение

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее число, на которое делится каждый из знаменателей. Обозначается он как НОК (a; b).

Пример

НОК (3; 4) = 12; НОК (8; 12) = 24.

Иногда найти НОК можно «на глаз», не выполняя дополнительных расчетов. К примеру, НОК (6; 9) = 18. Однако иногда на это может понадобиться больше времени. Описание примера таких вычислений приведено в примерах решения задач ниже.

Таким образом, основное преимущество это метода заключается в краткости вычислений. При этом его недостатком является сложность нахождения НОК в некоторых случаях.

Использование свойств вычитания при вычитании дробей

Свойство дробей:

1. В том случае, когда делитель дроби является нулем, такая дробь не имеет значения.
2. Дробь равна нулю при условии, что числитель обладает нулевым значением, а знаменатель не равен нулю.
3. Дроби ab и cd равны друг другу, если a×d=b×c.
4. В процессе деления или умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число получается равная ей дробь.

При вычитании справедливо использовать следующие свойства чисел:

при вычитании суммы из числа из него допускается вычесть одно слагаемое, а затем результат уменьшить на значение второго слагаемого:

a — (b + c) = (a — b) — c,

a — (b + c) = (a — с) — b.

скобки в выражении ((a — b) – c) не имеют смыслового значения, допустимо исключить их из выражения:

(a — b) — c = a — b — c.

для вычитания числа из суммы необходимо воспользоваться рациональным способом решения, то есть вычесть его из одного слагаемого, а результат увеличить на значение оставшегося:

(a + b) — c = (a — c) + b, если a > c или а = с,

(a + b) — c = (b — c) + a, если b > c или b = с.

когда из числа, в том числе, отрицательного, вычитают нуль, получается то же самое число:

a —  = a.

при вычитании числа из аналогичного числа получается нуль:

a — a = .

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Таким образом, чтобы из одной дроби вычесть дробь с аналогичным знаменателем, необходимо вычитать числители, а одинаковые знаменатели оставить прежними. Используя буквы, можно представить наглядную запись этого правила:

ac-bc=a-bc

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями 

Используя буквы, данное правило вычитания смешанных дробей можно записать с помощью формулы:

amc-bnc=(a-b)+m-nc

При m<n имеем:

amc-bnc=(a-1)m+cc-bnc=(a-1-b)+m+c-nc

Вычитание дробей с разными знаменателями

Применение озвученного правила на практике можно рассмотреть на примере дробей, разность которых требуется определить:

29

115

В процессе решения задачи можно использовать следующий алгоритм:

1. В связи с тем, что знаменатели не одинаковые, нужно определить самое маленькое общее кратное (НОК), чтобы найти единый делитель. Следует записать в колонку числа, составляющие в сумме значения делителей. Затем необходимо перемножить полученные значения и вычислить НОК.

НОК(9,15)=3×3×5=45

1. На следующем этапе следует определить дополнительные множители. При этом НОК нужно поделить на каждый из знаменателей.

459=5

4515=3

1. Числа, которые были получены в результате действий, требуется умножить на соответствующие дроби:

29=2×59×5=1045

115=1×315×3=345

1. В завершении алгоритма можно выполнить вычитание заданных чисел:

1045-345=10-345=745

29-115=745

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Вы уже разобрались со сравнением дробей с одинаковыми знаменателями. Теперь задача чуть усложняется — научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями. 

Запомните правило:

Если у двух дробей одинаковые числители, то больше будет та дробь, чей знаменатель меньше. А меньше будет дробь с большим знаменателем.

А теперь наши любимые примеры. Погнали!

Пример 1. Сравните дроби:

• У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
  9  > 7
  7 < 9
• Значит, дробь с меньшим знаменателем — больше:

Пример 2. Сравните дроби:

• У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
  10  < 11
  11 > 10
• Значит дробь с меньшим знаменателем — больше:

Пример 3. Сравните дроби:

• У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
  6  > 3
  3 < 6
• Значит, дробь с меньшим знаменателем — больше.

Для наглядности представим ситуацию, в которой вам предстоит разделить торт между тремя друзьями. Это значит, что 6 кусков торта равномерно распределяются по 3 людям: каждому достается 6:3 = 2 по 2 кусочка. 

А теперь представим более приятную ситуацию: кусков торта по-прежнему 6, а друзей уже только 2. Тогда каждому достанется по 3 вкуснейших кусочка:

Как видите, сравнение дробей может вам пригодиться в самых неожиданных ситуациях. Теперь, когда снова придется хорошенько задуматься о соотношении кусков торта и приглашенных гостях, изученная тема поможет вам принять верное решение.

Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей

Разберем, как сложить три, четыре и большее количество обыкновенных дробей.

Сложение обыкновенных дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами. Это следует из определения обыкновенных дробей, а также из того, как мы определили сложение обыкновенных дробей. Таким образом, сложение трех, четырех и т.д. дробей можно проводить аналогично .

Пример.

Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12, 13/12, 1/12 и 1/12.

Решение.

Нам нужно вычислить сумму . Последовательно заменяя две соседние дроби их суммой, получим . Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: .

Ответ:

.

Аналогично проводится сложение нескольких натуральных чисел и нескольких обыкновенных дробей.

Пример.

Вычислите сумму .

Решение.

Свойства сложения позволяют провести следующую группировку слагаемых: . Сумма трех натуральных чисел в скобках равна 14, а сумма равна дроби 11/12. Таким образом, .

Ответ:

.

Стоит отметить, что и правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей с разными знаменателями остаются справедливыми для трех и большего количества складываемых дробей.

Рассмотрим решение одного из предыдущих примеров в этом свете.

Пример.

Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12, 13/12, 1/12 и 1/12.

Решение.

Обратившись к правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем . Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: .

Ответ:

.

Пример.

Сложите три дроби с разными знаменателями 1/2, 3/8 и 7/12.

Решение.

Сначала выполним приведение трех дробей к наименьшему общему знаменателю (смотрите ), получаем .

Осталось лишь закончить сложение: .

Ответ:

.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями

Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:

а)	a + 3	+	a — 3	;
b	b

б)	2b — 1	+	b + 4	.
2	2

Решение: Складываем числители дробей и выполняем (если они есть):

а)	a + 3	+	a — 3	=	(a + 3) + (a — 3)	=
b	b	b

	=	a + 3 + a — 3	=	2a	;
b	b

б)	2b — 1	+	b + 4	=	(2b — 1) + (b + 4)	=
2	2	2

	=	2b — 1 + b + 4	=	3b + 3	.
2	2

Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:

а)	x + 5	—	5x	;
3	3

б)	a + b	—	a + 4	.
a — 5	a — 5

Решение: Вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)	x + 5	—	5x	=	x + 5 — 5x	=	5 — 4x	;
3	3	3	3

б)	a + b	—	a + 4	=	(a + b) — (a + 4)	=
a — 5	a — 5	a — 5

=	a + b — a — 4	=	b — 4	.
a — 5	a — 5

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:

a	+	b	=	a + b	и	a	—	b	=	a — b	,
c	c	c	c	c	c

где  c≠0.

Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:

a	=	—a	.
b	—b

Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на  -1.  Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:

a	=	—a	= —	a	= —	—a	.
b	—b	—b	b

Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:

—	a	=	—a	=	a	.
b	b	—b

Пример 1. Найдите сумму дробей:

5a	+	3a	.
b — c	c — b

Решение: Чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:

5a	+	3a	=	5a	—	3a	=
b — c	c — b	b — c	-(c — b)

=	5a	—	3a	=	2a	.
b — c	b — c	b — c

Пример 2. Найдите разность дробей:

n + 5	—	2n	.
n2 — m	m — n2

Решение: Чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:

n + 5	—	2n	=	n + 5	+	2n	=
n2 — m	m — n2	n2 — m	-(m — n2)

=	n + 5	+	2n	=	3n + 5	.
n2 — m	n2 — m	n2 — m

Шаги

Метод 1 из 4: Перечисление кратных

1
Перечислите кратные каждого знаменателя. Составьте список из нескольких кратных для каждого знаменателя в уравнении. Каждый список должен состоять из произведения знаменателя на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример: 1/2 + 1/3 + 1/5

Кратные 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; т.д.

Кратные 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; т.д.

Кратные 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; т.д.

2
Определите наименьшее общее кратное. Просмотрите каждый список и отметьте любые кратные числа, которые являются общими для каждого оригинального знаменателя

После выявления общих кратных определите наименьший знаменатель.

Обратите внимание, что если не найден общий знаменатель, возможно, потребуется продолжить выписывать кратные до тех пор, пока не появится общее кратное число.
Пример: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30

НОЗ = 30

3
Перепишите исходное уравнение. Числители будут равны произведению на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

Пример: 15 * (1/2); 10 * (1/3); 6 * (1/5)
Новое уравнение: 15/30 + 10/30 + 6/30

4
Решите

После нахождения НОЗ и изменения соответствующих дробей, просто вычислите значение этого сложения.

Пример: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

Метод 2 из 4: Использование наибольшего общего делителя

1. 1
   Вычислите наибольший общий делитель (НОД) для каждого знаменателя. Найдите НОД через перечисление возможных делителей каждого знаменателя.

2. Пример: 3/8 + 5/12
3. Делители 8: 1, 2, 4, 8
4. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
5. НОД: 4

6. 2
   Перемножьте знаменатели между собой.

7. Пример: 8 * 12 = 96

8. 3
   Разделите полученное значение на НОД. Полученное число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).

9. Пример: 96 / 4 = 24

10. 4
    Перепишите исходное уравнение. Числители будут равны произведению на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

11. Пример: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
12. 3 * (3/8) = 9/24; 2 * (5/12) = 10/24
13. 9/24 + 10/24

14. 5
    Решите уравнение. НОЗ найден; просто найдите значение этой суммы.

15. Пример: 9/24 + 10/24 = 19/24

Метод 3 из 4: Разложение каждого знаменателя на простые множители

1. 1
   Разложите каждый знаменатель на простые множители. Напомним, что простые множители – числа, которые делятся только на 1 или самих себя.

2. Пример: 1/4 + 1/5 + 1/12
3. Простые множители 4: 2 * 2
4. Простые множители 5: 5
5. Простые множители 12: 2 * 2 * 3

6. 2
   Подсчитайте число раз каждый простой множитель есть у каждого знаменателя.

7. Пример: Есть две 2 для знаменателя 4; нуль 2 для 5; две 2 для 12
8. Есть нуль 3 для 4 и 5; одна 3 для 12
9. Есть нуль 5 для 4 и 12; одна 5 для 5

10. 3
    Возьмите только наибольшее число раз (эти множители есть в любом знаменателе) для каждого простого множителя.

11. Например: наибольшее число раз для множителя 2 — 2 раза; для 3 – 1 раз; для 5 – 1 раз.

12. 4
    Запишите по порядку найденные в предыдущем шаге простые множители (с учетом наибольшего числа раз).

13. Пример: 2, 2, 3, 5

14. 5
    Перемножьте эти числа. Результат произведения этих чисел равно НОЗ.

15. Пример: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
16. НОЗ = 60

17. 6
    Перепишите исходное уравнение. Числители будут равны произведению на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

18. Пример: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
19. 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
20. 15/60 + 12/60 + 5/60

21. 7
    Решите.

22. Пример: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

Метод 4 из 4: Работа со смешанными числами

1
Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель и сложите с числителем – это будет числитель неправильной дроби. Целое число тоже превратите в дробь (просто поставьте 1 в знаменателе).

Пример: 8 + 2 1/4 + 2/3
8 = 8/1
2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4

Переписанное уравнение: 8/1 + 9/4 + 2/3

2
Найти наименьший общий знаменатель. Вычислите НОЗ любым способом, описанным выше

Для этого примера мы будем использовать метод «перечисление кратных».

Обратите внимание, что вам не нужно перечислять кратные для 1, так как любое число, умноженное на 1, равно самому себе; иными словами, каждое число является кратным 1.
Пример: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; т.д.
3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; т.д.
НОЗ = 12

3
Перепишите исходное уравнение. Числители будут равны произведению на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

Например: 12 * (8/1) = 96/12; 3 * (9/4) = 27/12; 4 * (2/3) = 8/12
96/12 + 27/12 + 8/12

4
Решите уравнение.

Пример: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить  и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:

Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Теперь разберемся со смешанным множителем . Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще  раза.

С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:

Но ещё осталось взять  от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:

Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является  пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:

А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби  . Затем сложить дроби с разными знаменателями:

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: , а конец так: . Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь  соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что  это свёрнутая форма записи смешанного числа, а  — развёрнутая.

Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.

Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения равно 

Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем сложим дроби с разными знаменателями:

Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:

Пример 3. Найти значение выражения 

Можно записать вместе число 2 и дробь , но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби  можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби  . Пять вторых это две целых и одна вторая:

Теперь в главном выражении  вместо дроби  запишем смешанное число 

Получили новое выражение . В этом выражении смешанное число  запишем в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:

Теперь свернём полученное смешанное число:

Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Определение

Суммой двух дробей с одинаковыми знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме
числителей исходных дробей, а знаменатель — знаменателю дробей, то есть

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, надо сложить
их числители и результат записать в числитель, а
знаменатель оставить без изменения.

Пример

Задание. Найти сумму дробей
 $\frac{3}{11}$  и
 $\frac{7}{11}$ 

Решение.   $\frac{3}{11}+\frac{7}{11}=\frac{3+7}{11}=\frac{10}{11}$

Ответ.   $\frac{3}{11}+\frac{7}{11}=\frac{10}{11}$

Если в результате сложения получается дробь, числитель и знаменатель которой можно сократить,
то для конечного результата выполняем и сокращение дроби.

Слишком сложно?

Сложение дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Найти сумму дробей
 $\frac{3}{14}$  и
 $\frac{11}{14}$ 

Решение. Складываются дроби с одинаковым знаменателем,
поэтому просто складываем числитель, а знаменатель оставляем исходный:

$\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=\frac{14}{14}$

Полученная дробь $\frac{14}{14}$ является
неправильной, у которой числитель равен знаменателю, и такая дробь равна единице, то есть

$\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=\frac{14}{14}=1$

Ответ.   $\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=1$