Сложение и вычитание алгебраических дробей

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Для того чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, оставив знаменатель без изменения. Например,

Это следует из распределительного закона, примененного к частному от деления алгебраической суммы на число

прочитанного справа налево.

Если же знаменатели различны, дроби нужно предварительно привести к одному знаменателю. В качестве общего знаменателя можно взять любое общее кратное знаменателей данных дробей, т. е. любой многочлен, делящийся на каждый из этих знаменателей. В частности, за общий знаменатель можно принять произведение знаменателей данных дробей. Выгодно выбирать общий знаменатель, возможно более низкой степени. Для того чтобы показать, как следует находить общий знаменатель, рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Сложить дроби

Решение:

Сперва нужно привести эти дроби к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя здесь можно взять так как делится на , на аb и на .

Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножим, числитель и знаменатель первой дроби на , второй — на ab, третьей— на . Получим

Следовательно,

Можно принять за общий знаменатель и произведение знаменателей данных дробей: При таком выборе общего знаменателя мы получим

Здесь возможно сокращение дробей. Действительно,

Таким образом, неэкономный выбор общего знаменателя приводит к появлению общих, множителей в числителе и знаменателе дроби, получающейся в результате. Хотя их в конце концов можно сократить, но это удлиняет и усложняет выкладки.

Пример:

Выполнить сложение и вычитание

Решение:

Здесь за общий знаменатель следует принять 12 аbс. Числитель и знаменатель первой дроби нужно умножить на 4а, второй дроби — на Зb и третьей дроби — на 2с. Получим

Пример:

Выполнить сложение и вычитание

Решение:

Здесь мы можем заметить, что = (x—у)(х + у)

Поэтому за общий знаменатель мы можем принять (х—у)(х + у) Приняв это во внимание, проводим выкладки

Ответ.

Таким образом, если знаменателями слагаемых дробей являются многочлены, то для целесообразного выбора общего знаменателя нужно предварительно разложить эти многочлены на множители, если, это возможно. За общий знаменатель нужно взять произведение всех полученных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они входят в знаменатели данных дробей.

Для каждой дроби нужно найти дополнительный множитель, на который нужно умножить числитель и знаменатель данной дроби, чтобы получить дробь со знаменателем, равным выбранному общему знаменателю.

Пример:

Выполнить сложение и вычитание

Решение:

Здесь за общий знаменатель следует принять

Получим

Пример:

Выполнить сложение и вычитание

Решение:

Здесь требуется сложить дробь c многочленом Для приведения к общему знаменателю умножим и раз делим многочлен на a—1. Получим

Сокращение смешанных дробей

Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.

Сократить смешанные дроби можно двумя способами.

Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.

Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.

Примеры можно увидеть на фото выше.

Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.

Деление одночленов

Пример:

Выполнить деление

Решение:

Требуется найти такое выражение, которое, будучи умножено на 3аbс, даст Легко найти одночлен, удовлетворяющий этому требованию. Мы знаем, что при умножении одночленов коэффициенты перемножаются, а показатели степени при каждой букве складываются. Поэтому в искомом одночлене коэффициент равен 6 : 3 = 2, буква а должна входить с показателем 3 — 1 = 2, а буква b с показателем 2 —1 = 1, а буква с совсем не должна входить. Таким образом,

Такое же рассуждение можно привести в любом другом случае деления одночлена на одночлен: необходимо только, чтобы все буквы, входящие в делитель, входили и в делимое с не меньшими показателями степени.

Только что отмеченное условие есть условие делимости одночленов, т. е. условие, при выполнении которого частное от деления одночленов есть целое алгебраическое выражение, именно одночлен.

Мы приходим к следующему правилу.

Чтобы поделить одночлен на одночлен, в случае, если все буквы, входящие в делитель, входят и в делимое с не меньшими показателями, нужно:

1. Поделить коэффициенты и частное принять за коэффициент результата.
2. Буквы, входящие в делимое с большими показателями, чем в делитель, вписать в результат с показателями, равными разностям соответствующих показателей в делимом и делителе.
3. Буквы, входящие в делимое, но не входящие в делитель, вписать в результат с неизменными показателями.
4. Буквы, входящие в делимое и в делитель с одинаковыми показателями, опустить.

Менее подробно: при делении одночленов коэффициенты нужно поделить, а показатели при одинаковых буквах вычесть.

Можно, однако, этим правилом не пользоваться, а сразу записать дробь и произвести возможные сокращения. Рассмотрим тот же пример:

Здесь условие делимости выполнено. Посмотрим теперь, какой вид имеет результат, если условие делимости не выполнено.

Пример:

Выполнить деление

Решение:

Здесь условие делимости не выполнено, так как буква b входит в делитель в большей степени, чем в делимое. Однако мы можем записать дробь и произвести сокращение. Получим :

Очевидно, что полученное выражение не может равняться целому алгебраическому выражению, т. е. многочлену или одночлену, так как произведение одночлена b на любой многочлен (или одночлен) равно многочлену (или одночлену), содержащему букву b, а буквы b не содержит.

Таким образом, всегда, если только условие делимости не выполнено, частное от деления двух одночленов не является целым алгебраическим выражением. Это частное можно записать только в виде алгебраической дроби.

Общие сведения

Первые упоминания о дробях встречаются в Древнем Египте. Его жители умели делить два предмета на три части. Применяли они для этого специальное обозначение: 1/2, 2/3, 1/3. При этом запись вида 2/3 была единственной, где в верхней части использовалась не единица, а двойка. Египтяне для обозначения, впрочем, как и вавилоняне, использовали формулу: 1/ n. Для записи других дробей использовалась сумма. Например, вместо 8/15 они использовали сложение двух выражений: 1/3 и 1/5.

Работать с такими дробями было сложно. Различные философы и учёные пытались придумать запись, универсальную для любых случаев. Так, были попытки использовать шестидесятеричные дроби, которыми пользовались в Вавилоне и Греции. Но выполнять над ними операции опять же было сложно. В Риме использовали систему, называемую асс. В её основе лежало деление на двенадцать. Долю, которую она составляла, называли унцией.

Современную же систему записи предложили в Индии. Единственным отличием от общепринятой записи была её перевернутость. Сверху писали делимое, а внизу — делитель. Дробную черту не ставили. Запись же, используемая сегодня, была предложена арабами.

Любая дробь состоит из двух частей: верхней, называемой числителем, и нижней — знаменателя. При произношении читается сначала числитель, а после знаменатель. Например, 3/8 — три восьмых. Верхняя часть обозначает, сколько взято долей, а нижняя — каких. В алгебре используется и иная формулировка. Числитель называют делимым, а знаменатель делителем.

Существуют следующие виды дробей:

• Обыкновенные — это числа, образованные одной или несколькими равными частями.
• Правильные — отношения, в которых числитель больше знаменателя.
• Неправильные — выражения, в которых числитель больше либо совпадает по значению со знаменателем.
• Смешанные — представляют собой сумму, состоящую из натурального числа и правильного отношения.
• Десятичные — это дроби, в знаменателе которых стоит десять в натуральной степени.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, надо произведение их числителей разделить на произведение знаменателей.

Например:

Если среди числителей и знаменателей дробей имеются многочлены, то эти многочлены целесообразно разложить на множители и лишь после этого совершать операцию умножения дробей.

Например:

Само собой разумеется, что при умножении дроби на дробь разлагать многочлены не требуется, так как они сокращаются непосредственно.

Взаимно обратные выражения

Определение. Два алгебраических выражения называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Например, выражения а и взаимнообратны. Также взаимно обратны выражения 2ах и

Если данное выражение то ему обратным будет (а + b).

Если данное выражение — a, то ему обратным будет

Если данное выражение то обратным будет

Если данноe число 1, то ему обратным будет тоже 1.

Нуль обратного себе числа не имеет.

Что такое «сокращение дробей»

Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.

В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:

Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.

С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:

=

=

где a, b, m — натуральные числа.

Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:

Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.

Пример 1. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.

3 : 3 =1

15 : 3 = 5

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 2. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.

4 : 2 = 2

16 : 2 = 8

= =

Сокращение выполнено: =

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Правило. Чтобы сложить дроби с. одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, оставив знаменатель без изменения.

Примеры:

Сложение дробей с одночленными знаменателями

Правило. Чтобы сложить дроби с различными одночленными знаменателями, надо:

1. Составить наименьшее кратное знаменателей всех дробей и принять его за общий знаменатель.
2. Найти дополнительный множитель для каждой дроби.
3. Сумму произведений дополнительных множителей на соответствующие числители разделить на общий знаменатель.

Примеры:

Рассмотрим еще такой пример:

Здесь общий знаменатель

Дополнительный множитель для

Поэтому получим:

Сложение дробей, среди знаменателей которых встречаются многочлены

Чтобы сложить дроби, среди знаменателей которых встречаются многочлены, сначала эти многочлены следует разложить на неприводимые множители. Далее надо поступать, как и при сложении дробей с одночленными знаменателями.

Примеры:

Найти сумму трех дробей:

где а и b и с различные числа, отличные от нуля. Искомую сумму найдем двумя способами.

1-й способ. Общим знаменателем всех трех дробей будет произведение

Множитель (b—а) не следует включать в общий знаменатель, так как его абсолютная величина такая же, как и абсолютная величина множителя (а — b). По такой же причине не включается и множитель (с — b).

Дополнительными множителями будут:

для первой дроби для второй так как

для третьей так как

Поэтому

Преобразуем числитель последней дроби:

Таким образом, сумма данных трех дробей будет равна

или так как

2-й способ. Найдем сперва сумму первых двух дробей:

Преобразуем числитель этой дроби:

Теперь искомая сумма трех заданных дробей будет:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило. Чтобы вычесть из одной дроби другую с тем же знаменателем, надо вычесть числитель второй дроби из числителя первой и подписать общий знаменатель.

Например:

Вычитание дробей в более сложных случаях выполняется аналогично тому, как и сложение.

Пример:

Преобразуем числитель полученной дроби:

Таким образом, алгебраическая сумма данных четырех дробей будет равна дроби

которая после сокращения примет вид

2. Работа с арифметическими дробями

Ал­геб­ра­и­че­ская дробь – это де­ле­ние од­но­го мно­го­чле­на на дру­гой мно­го­член: , P – чис­ли­тель дроби, Q – зна­ме­на­тель дроби; дан­ные мно­го­чле­ны можно пре­об­ра­зо­вы­вать, рас­кла­ды­вать на мно­жи­те­ли лю­бы­ми из­вест­ны­ми нам ме­то­да­ми. Дробь можно со­кра­щать на общие мно­жи­те­ли, то есть упро­щать ис­ход­ную дробь, так же как мы де­ла­ли с ариф­ме­ти­че­ски­ми вы­ра­же­ни­я­ми. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 1:

Чтобы упро­стить дан­ное вы­ра­же­ние, нужно раз­ло­жить чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на про­стые мно­жи­те­ли:

Те­перь можно со­кра­тить на общий мно­жи­тель:

Итак, при ра­бо­те с ариф­ме­ти­че­ски­ми дро­бя­ми для упро­ще­ния вы­ра­же­ния мы и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель раз­ла­га­ли на про­стые мно­жи­те­ли, опи­ра­ясь на ос­нов­ную тео­ре­му ариф­ме­ти­ки о раз­ло­же­нии со­став­ных чисел на про­стые мно­жи­те­ли, после чего со­кра­ща­ли общие мно­жи­те­ли.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например, и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби раскрадываются на простые множители, после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями. В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 22·3. Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

.

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю, его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10. В этом случае имеем .

Ответ:

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя формулы сокращенного умножения: . Теперь хорошо видно, что можно провести сокращение дроби на общий множитель b2·(a+7). Сделаем это .

Краткое решение без пояснений обычно записывают в виде цепочки равенств:

Ответ:

.

Иногда общие множители могут быть скрыты числовыми коэффициентами. Поэтому при сокращении рациональных дробей целесообразно числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример.

Сократите дробь , если это возможно.

Решение.

На первый взгляд числитель и знаменатель не имеют общего множителя. Но все же, попробуем выполнить некоторые преобразования. Во-первых, можно вынести за скобки множитель x в числителе: .

Теперь проглядывается некоторая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x2·y. Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

После проделанных преобразований виден общий множитель, на который и проводим сокращение. Имеем

Ответ:

.

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей заметим, что успех во многом зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2009. — 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Деление алгебраических дробей

Правило. Частное от деления двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель равен произведению знаменателя делимого на числитель делителя, т. е.

Это правило иначе формулируется так: частное от деления двух дробей равно произведению делимого на дробь, числитель которой равен знаменателю делителя, а знаменатель равен числителю делителя.

Доказательство правила проводится посредством проверки деления умножением. Имеем:

Следовательно:

что и требовалось доказать.

Пример:

Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей

Пример:

Упростить выражение

Решение:

Здесь можно выполнить сложение дробей в числителе и знаменателе и затем поделить полученные результаты:

Однако проще непосредственно воспользоваться основным свойством дроби, именно умножить числитель и знаменатель на ab:

Для упрощения дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей, следует умножить числитель и знаменатель на общее кратное знаменателей всех дробей, находящихся в числителе и знаменателе.

Пример:

Упростить выражение

Решение:

Умножаем числитель и знаменатель на Получим

Возведение алгебраической дроби в степень

Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.

Пример 6

Рассмотрим на примере дроби 2·xx-y. Если необходимо возвести ее в степень равную 2, тогда выполняем действия : 2·xx-y2=2·x2(x-y)2. После чего возводим в степень получившийся одночлен. Выполнив действия, получим, что дроби примет вид 4·x2x2-2·x·y+y2.

Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.

При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби

Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Умножение алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей применяется то же правило, что и при умножений численных дробей. Именно, произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей перемножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей, т. е.

Здесь А, В, С, D обозначают любые алгебраические выражения.

В применении к обыкновенным численным дробям, т. е. в случае, если A, B, С, D — целые положительные числа, это правило известно из арифметики. В общем виде справедливость этого правила нуждается в доказательстве, так как значениями выражений A, В, С, D могут быть не только целые числа, но и дробные, не только положительные, но и отрицательные.

Проведем доказательство правила. Обозначим буквой х и составим произведение

По определению действия деления есть число, которое при умножении на В дает A. Следовательно, Таким же образом Итак, BDx = А С. Отсюда заключаем, в силу определения действия деления, что что и требовалось доказать.

Пример:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Пример:

Выполнить деление

Решение:

Без всяких вычислений ясно, что частное равно 1. Такой же результат будет при делении одинаковых степеней с любым показателем.

Пример:

Выполнить деление

Решение:

Очевидно, что результат равен , ибо

Результат получен посредством вычитания показателей степени в делимом и делителе на основании того, что при проверке деления умножением показатели складываются.

Правило. При делении степеней с одинаковыми основаниями в предположении, что показатель степени в делимом больше показателя степени в делителе, частное равно степени с тем же основанием и с показателем, равным разности показателей в делимом и делителе.

Короче: при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

Действительно, если m > n, то

Пример:

Выполнить деление

Решение:

Запишем то же самое в виде дроби и произведем сокращение на , учитывая, чтo Получим

Результат имеет такой же вид при любых показателях степени, если только показатель в делимом меньше показателя в делителе.

Если m < n , то

При делении степеней с одинаковыми основаниями мы рассмотрели все три случая, которые могут представиться.

Случай 1. Показатели степени равны.

Случай 1. Показатели степени равны. Случай 2. Показатель степени в делимом больше показателя степени в делителе. Случай 3. Показатель степени в делимом меньше показателя степени в делителе.

Мы убедились в том, что в первых двух случаях в частном получается целое-алгебраическое выражение. Таким образом, делится на , если m равно n или m больше n. В третьем случае (m< n) не делится на , ибо частное не может быть представлено в виде одночлена или многочлена. Действительно, никакой одночлен или многочлен при умножении на не может дать 1.