Примеры решения уравнений с модулем с ответами

Как решать уравнения с модулем

Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнения типа |x| = a

Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если |x| &lt, a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Уравнения типа |x| = |y|

Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).

Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.

Уравнения типа |x| = y

Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:

Начало обучения

Теоретические знания нужно приобретать целенаправленно. Не имеет смысла запоминать огромные массивы информации, поскольку она не отложится в головном мозге. Объяснением этого является защита организма и нервной системы от переутомления

Однако следует обратить внимание на «лазейки», с помощью которых можно добиться успехов. При этом зубрить материал необязательно.

Математики рекомендуют не тратить время на заучивание материала

Они считают, что очень важно с ним ознакомиться и разобраться. Сегодня существует много информации, однако она часто изложена на непонятном языке или неправильно.

Перед изучением любой дисциплины следует составить подробный план. Эта операция довольно сложная, поскольку произвести ее может не каждый. Специалисты рекомендуют действовать по такому абстрактному алгоритму:

Поставить задачу.
Определить базовый минимум знаний.
Найти информацию о каждом элементе второго пункта.
Разобраться в терминах и теоретическом материале.
Приступить к практике начиная с простых заданий.

Первый пункт должен быть подробно расписан. Необходимо точно описать проблему, а также последствия (например, научиться решать что-то). После этого нужно найти информацию, желательно использовать несколько источников. В некоторых случаях каждую задачу во втором пункте допускается разбивать на подзадачи.

Далее необходимо составить список всех необходимых знаний, которые нужны для достижения цели в первом пункте (например, решение квадратных уравнений с модулем). Их нужно расписать полностью. Можно воспользоваться любым текстовым процессором (Word, OpenOffice и т. д.). Основная задача третьего пункта заключается в полной систематизации информации.

Четвертый пункт — углубленное чтение. Нужно не просто прочитать материал, а попытаться в нем разобраться. Заучивать его нет смысла, поскольку такие действия очень часто приводят к разочарованию и усталости. После четвертого пункта следует приступить к решению простых примеров. Действия нужно выполнять до полного автоматизма. Основной принцип этого алгоритма — постепенное усваивание материала.

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида |x| = a

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.

Ответ: 2 и −2.

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Далее определяется знак на интервалах: на промежутке величина будет отрицательной, а на интервале будет положительной.

Разделим интервал на 2 части:

для x + 2 ≥ 0

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1, + ∞).

для х + 2 &lt, 0

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞, –3].

Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:

x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Ответ: x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Уравнения вида |x| = |y|

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Решение:

Ответ: x1 = 3, x2 = − 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Решение:

Уравнения вида |x| = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Решение:

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что не лежит в промежутке

Ответ: x = 0.

Особенности техники

Модульное оригами, на западе известное как Golden venture, родом из Китая. Это – трудоёмкое искусство, когда из однотипных маленьких треугольников собираются трёхмерные модели, иногда достигающие гигантских размеров. У японцев модульное оригами состоит всего из нескольких элементов, которые могут заметно отличаться друг от друга. Самый яркий пример – ароматические шары кусудамы.

Китайское модульное оригами требует терпения и скрупулёзности. Некачественные детали или сборка, легко испортят результат многочасового труда. Модули сегодня можно купить в готовом виде, чтобы сразу перейти к творческому процессу. Начало всегда одинаковое – параллельно собираются два ряда. Последний модульный элемент замыкает цепочку, которая образует круг. Выглядит это следующим образом:

Тыльная сторона:

Если не замыкать цепочку, фигура останется плоской. Так делаются, например, крылья у птиц или простые модели-оригами: рыбки, бабочки, листья.

Однако объёмные фигуры намного интереснее. С цилиндрическими всё просто – постепенно круг за кругом нужно добавлять одно и то же число элементов, надевая «карманы» верхнего модуля на соседние выступы двух нижних (см. фото). А что делать со сферической или яйцевидной формой? Чтобы округлить любую модель, потребуется наращивать ряды до середины изделия и затем плавно сводить «на нет».

Добавляются модули двумя способами:

Между уже существующими элементами вставляются дополнительные. На них затем будут надеваться треугольники следующего ряда. На фотографии дополнительные элементы обозначены зелёным цветом:

На каждый выступ надевают по одному «кармашку», а второй остаётся свободным:

При любом варианте число модульных элементов в следующем ряду увеличивается вдвое. Чтобы затем сократить цепочку, делая куполообразное завершение фигуры, треугольники крепят по одному на три выступа.

Несложные приёмы позволяют создавать самые разнообразные оригами-фигурки из модулей. Например, как на этих фото:

Клубника

Простая и быстрая модель подойдёт для украшения открыток. Сборка здесь не требует особых навыков, поскольку фигурка плоская. Изменение очертаний достигается за счёт увеличения или уменьшения числа модульных элементов в цепочке.

Для этой схемы модульного оригами понадобится 40 треугольников из бумаги трёх цветов:

27 красных;
6 зелёных;
6 чёрных.

Пошаговая инструкция:

Сборка начинается с чашелистиков. Соединяем 3 зелёных модульных элемента на длинных сторонах. Далее наращиваем ещё 1 ряд. После чего переходим к ягоде. К последним двум зелёным элементам крепим столько же красных. В свободные крайние «карманчики» вставляем ещё две детали. Следующий ряд будет состоять из 2 красных модульных элементов и 1 чёрного.

Продолжаем наращивать ягоду аналогичным образом, следуя фото-инструкции.

Ряд	Модули
3	4 кр. + по 2 кр. по бокам
4	5 кр., 2 чёр. + 2 кр. по бокам
5	4 кр.
6	2 чёр., 1 кр.
7	1 чёр., 1 кр., 1 чёр.
8	1 чёр.
9	1 кр.

Клубника готова. Остаётся добавить в боковые «карманы» чашелистиков симметрично ещё два зелёных треугольника.

Пример решения

Необходимо решить уравнение биквадратного типа |4z 4 + 8z 2 — 20| = 4. Ошибочное утверждение, которое делают новички, заключается в упрощении (разделить обе части на 4). Однако это делать не рекомендуется, поскольку следует придерживаться алгоритма:

Раскрытие модуля (двойное выражение): 4z 4 + 8z 2 — 20 = 4 и — = 4.
Упрощение: 4z 4 + 8z 2 — 20 — 4 = 4z 4 + 8z 2 — 24 = z 4 + 2z 2 — 6 = 0 и -4z 4 — 8z 2 + 20 — 4 = -z 4 + 2z 2 — 4 = 0.
Решение z 4 + 2z 2 — 4 = 0 с вводом параметра замены t = z 2 : t 2 + 2t — 6 = 0.
Дискриминант: D1 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-6) = 28 = ^2.
Корни: t1 = / 2A = / 2 = -1 — (7)^(½) и t2 = -1 + (7)^(½).
Окончательное решение первого уравнения: z1 = ^(½) и z2 = -^(½).
Решение второго уравнения с w = z 2 : w 2 + 2w — 4 = 0.
Дискриминант: D2 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-4) = 20 = ^2.
Корни: w1 = / 2A = / 2 = -1 — (5)^(½) и w2 = -1 + (5)^(½).
Нахождение искомых корней: z3 = ^(½) и z4 = -^(½).

Корнями являются четыре иррациональных значения. Если проверить при помощи онлайн-калькулятора, то ответы будут верными. В физике также можно встретить такой тип уравнений. Например, необходимо выполнить сравнение сил, направленных в противоположные стороны. В этом случае рекомендуется воспользоваться модулем для упрощения записи.

Задание любого типа следует решать, используя абстрактный алгоритм. Он позволяет произвести вычисления без ошибок, что позволит сэкономить много времени.

Практикум

Попробуем решить примеры, опираясь на эти свойства:

\( \left|6,75\right|-\left|-1,25\right|=6,75-1,25=5,5 \)
\( \left|33\right|\div\left|-1,5\right|=33\div1,5=330\div15=22 \)
\( \left|-2\frac13\right|²=(2\frac13)²=(\frac73)²=\frac{49}9=5\frac49 \)

Прикинем: 2 – это \( \sqrt4 \), значит, \( 2<\sqrt5 \). Если из меньшего вычесть большее, то результат будет отрицательный (\( 2-\sqrt5<0 \)). Как же вывести это выражение из-под знака \( \left|M\right| \) с положительным значением?
Чтобы разность двух чисел стала положительной, нужно из большего вычесть меньшее, записать ее наоборот, вот так: \( \sqrt5-2 \).
Тогда: \( \left|2-\sqrt5\right|+\left|2+\sqrt5\right|=\sqrt5-2+2+\sqrt5=2\sqrt5 \).

Еще пример: \( \left|\sqrt{5-3}\right|-\left|1-\sqrt5\right| \)

Рассуждаем: 3 – это \( \sqrt9 \), значит, \( \sqrt5<3 \), тогда \( \sqrt5-3<0\Rightarrow \) меняем числа местами, разница останется прежней, но знак изменится с “-” на “+”: \( 3-\sqrt5 \)
Дальше: 1 – это \( \sqrt1 \), значит, \( 1<\sqrt5,\;и\;1-\sqrt5<0\Rightarrow\; \)меняем числа местами – \( \sqrt5-1 \).
Теперь соединяем: \( 3-\sqrt5-(\sqrt5-1)=3-\sqrt5-\sqrt5+1=4-2\sqrt5 \)

Функция модуля

До этого момента мы говорили о модуле, как о некотором свойстве, которым обладает число, о его беззнаковой «величине». На самом деле, это лишь один из подходов к определению модуля. Он хорош тем, что основные свойства модуля не берутся из ниоткуда, а логично (можно даже сказать, очевидным образом) вытекают из понятия о «величине» числа.

Более строгим подходом является определение модуля как функции. В этом случае модуль спускается с небес на землю и теряет свой статус «неотъемлемой части любого числа», но зато у нас появляется возможность использовать его в большом и наработанном аппарате математики (и математического анализа):

Определить его функциональные свойства
Решать уравнения и неравенства с ним
Строить и изучать сложные функции с его участием

(функция) — кусочно-линейная функция, определенная на всей вещественной прямой R следующим образом:

∣x∣={−x,x≥−x,x<

Видим, что механизм получения значения полностью совпадает с модуля числа, которое я дал в начале статьи. Никакой разницы в значениях между этими определениями нет. Это означает, что все выведенные выше свойства модуля числа прекрасно сохраняются и для функции модуля.

График функции модуля элементарный. От −∞ до это будет убывающая под углом в −45 градусов прямая −x. От и далее это обычная прямая x.

Помимо рассмотренных ранее уникальных свойств модуля, можно также проанализировать его на предмет наличия общих свойств функций.

Свойства модуля как функции

Область определения: R
Область значений: ,+∞)
Функция четная
Строго убывает на (−∞, и строго возрастает на ,+∞)

Доказательство

Любое вещественное число будет удовлетворять либо верхнему, либо нижнему неравенству из определения функции модуля. Другими словами, «величина» есть у любого числа. Поэтому область определения функции модуля равна R.

Для любых неотрицательных чисел функция модуля будет равна самим этим числам. Значит, любое положительное число входит в область значений функции модуля. В то же время, модуль всегда , поэтому отрицательных чисел в области значений не может быть. Значит, область значений равна ,+∞).

Доказанное ранее равенства модулей противоположных чисел и означает четность функции модуля по определению.

Наконец, функция −x монотонно убывает, а x монотонно возрастает на всей своей области определения. Поэтому функция модуля монотонно убывает на (−∞, и возрастает на ,+∞).

Все же, под модулем в литературе и других источниках информации чащее всего понимают именно функцию модуля.
C этого момента мы тоже будем придерживаться этой логики.
В дальнейших разделах вместо записей ∣x∣ и ∣y∣ я буду использовать записи ∣f∣ и ∣g∣, чтобы подчеркнуть, что под знаком модуля может быть как число, так и какая-нибудь функция.

Перемещение и путь (расстояние)

Эти понятия на первый взгляд очень похожи. Но разница есть, и существенная. Попутешествуем еще немного вдоль числовой прямой. Движение направо – “плюс”, налево – знак “минус”. Начальная точка – “0” (рис. 3):

таксист отвез клиента на станцию “100 км” и привез обратно;
затем съездил с клиентом к “-100 км” и вернул его назад.

Рис. 3. Перемещение и путьНа сколько километров переместилась машина от начальной точки за время движения? Как далеко от “0” она оказалась в конце пути?+100 — 100 — 100 + 100 = 0 – автомобиль к концу движения оказался в исходной точке. Перемещение = 0. Должен ли пассажир платить за услугу?
А теперь посчитаем, какое расстояние проехал таксист, двигаясь по дороге вправо и влево. Раз речь идет о расстоянии, записываем весь маршрут, используя необходимые символы:

так: \( \left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|=400 \) км
или так: \( 4\times\left|100\right|=400 \) км проехал автомобиль

Расстояние = 400 км. Конечно же, пассажир должен заплатить за эту поездку.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

|a|0

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

|a| = a, если a > 0

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

|−a| = a, если a

4. Модуль нуля равен нулю.

|0| = 0, если a = 0

5. Противоположные числа имеют равные модули.

|−a| = |a| = a

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

|a b| = |a| |b|, когда

a·b 0

или

−(a·b), когда a·b<0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя:

Решение уравнений с модулем

Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим первый случай , то есть (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид , его решение . Это решение удовлетворяет условию . Таким образом, — корень исходного уравнения.

Во втором случае , то есть . В этом случае уравнение преобразуется к виду , его решение . Этот корень не удовлетворяет условию , таким образом, не является корнем исходного уравнения.

Ответ. .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Сначала найдем корни уравнения . Это . Следовательно, условие выполняется при и при , а условие — при . Рассмотрим два случая:

1) .

Исходное уравнение на этом множестве имеет вид .

Его корни . Из них только попадает под наш случай. Докажем это:

Так как , то , и, действительно, . Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):

Так как , последнее неравенство также выполняется, и корень — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств

следует, что является корнем уравнения.

2) .

В этом случае , и от исходного уравнения мы переходим к уравнению . Решения этого уравнения: и . Из них только число попадает на указанный промежуток:

корень — посторонний.

Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем :

Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом , что намного проще.

Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — и . Числовая ось разбивается точками и на три промежутка, изображенных на рис. 12:

Рис. 12

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) . Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Этот корень попадает на промежуток и поэтому является решением исходного уравнения.

2) . Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Поскольку не попадает на рассматриваемый промежуток , то этот корень — посторонний.

3) . Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Этот корень принадлежит промежутку и является решением исходного уравнения.

Ответ. .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) и 2) .

1) В этом случае , и исходное уравнение преобразуется к виду . Решая это уравнение, получаем корни и .

2) При раскрываем внутренний модуль: . Получаем уравнение , которое решений не имеет.

Ответ. .

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Из геометрических свойств модуля имеем: — это расстояние между точкой и точкой , — расстояние между точкой и точкой . Таким образом, — это сумма расстояний от точки до точек и . Поскольку расстояние между точками и равно , то любая точка , лежащая на числовой оси между точками и , удовлетворяет условию. Точек, лежащих вне отрезка , удовлетворяющих условию, не существует, поскольку сумма расстояний от этих точек до концов данного отрезка очевидно больше .

Ответ. .

Задачи. Решите уравнения:

1. .

2. .

3. .

4. .

«Величина» числа

Сначала попытаемся сформулировать понятие о «величине» числа. Из этого понятия естественным образом получим понимание, откуда взялся и как определить модуль.

Геометрический смысл

Представьте, что вы стоите в точке на числовой оси. Слева от вас, в точке −1, находится школа. Справа, в точке 5, находится ваш дом. Математически число −1 меньше, чем 5. Но вот идти до школы 1 метров влево гораздо дольше, чем пройти 5 метров до дома вправо. В этом смысле «величина» пройденного расстояния в −1 метров больше, чем 5 метров.

Пусть теперь школа находится в точке −1, а дом в точке 1. Математически вновь получаем, что −1 меньше 1. Но вот нам, находящимся в , совершенно нет разницы: идти −1 метров влево или 1 метров вправо. В обоих случаях мы пройдем 1 метров. То есть, по «величине» числа −1 и 1 равны.

Количественный смысл

Рассмотрим числа 5 и −1. В математическом смысле −1 гораздо меньше 5. А давайте посмотрим на эти числа под другим углом. У вас есть всего 5 рублей и вы задолжали другу. Ваш долг составляет −1 рублей. В этом смысле «величина» вашего долга в −1 рублей гораздо больше имеющихся у вас 5 рублей. Получается, что математически −1 меньше 5, но по «величине» −1 больше 5.

Теперь рассмотрим числа −1 и 1. Математически, опять же, −1 меньше 1. Но, пользуясь нашей аналогией с долгом, своими 1 рублями вы полностью покроете долг в −1 рублей. То есть, по «величине» число −1 равно числу 1.

Понятие величины

Мы поняли, что каждое число имеет свою «величину». Причем эта величина не зависит от того, положительным или отрицательным является число. Можно даже сказать, что «величина» числа это и есть само число, от которого «отбросили» его знак.

Модуль числа

Сформулируем на строгом языке математики наше интуитивное представление о «величине» числа, которое мы сформировали в предыдущем разделе.

или вещественного числа x — само число x, если оно неотрицательно, иначе −x.

∣x∣={−x,еслиx≥−x,еслиx<

Допустим, мы хотим найти модуль какого-то числа a. Согласно определению, нам надо провести элементарную проверку. Если число a положительное или равно , то модулем a и является само a. Если же a меньше , то результатом модуля будет −a.

Примеры значений модуля

∣5∣=5∣∣=∣−12∣=−(−12)=12

Легко убедиться, что модуль числа полностью соответсвует по смыслу «величине» числа, рассмотренной в предыдущем разделе. Там мы утверждали, что по «величине» −1 больше 5, а −1 равно 1. И действительно:

∣−1∣=1∣−1∣=1∣5∣=5∣−1∣>∣5∣∣1∣=1∣−1∣=∣1∣

Положение знака нестрогого неравенства в определении модуля не имеет значения:

∣x∣={−x,еслиx≥−x,еслиx<={−x,еслиx>−x,еслиx≤

Доказательство

Обозначим второе определение модуля числа x как ∣x∣′. Покажем, что какой x не возьми, будет выполняться ∣x∣=∣x∣′.

Пусть x>. По классическому определению ∣x∣=x. По второму: ∣x∣′=x. То есть ∣x∣=∣x∣′.

Пусть x=. По классическому определению ∣∣=. А вот во втором определении попадает уже под второе условие, то есть ∣∣′=−=. Опять имеем ∣∣=∣∣′.

Наконец, пусть x<. По классическому определению ∣x∣=−x. У второго определения та же ситуация: ∣x∣′=−x. Получается, что и в этом случае ∣x∣=∣x∣′.

Итак, мы рассмотрели все возможные значения для x и во всех случаях ∣x∣=∣x∣′. Это и означает, что между двумя определениями нет никакой разницы ■

Такое определение иногда бывает полезно. Например, если x лежит в следующих пределах: −1≤x≤, то можно сразу сказать, что ∣x∣=−x, даже несмотря на то, что для x= так выражаться будет некорректно, ведь ∣∣=, а не −.

Уравнения и неравенства с модулем

Перед тем, как перейти к этой части, повторите, как решаются обычные уравнения и неравенства с одной переменной.

Уравнения

Приступая к задачам с \( \left|M\right| \), нужно все время помнить, что внутри знака может скрываться как положительное выражение, так и отрицательное.\( \left|3-x\right|=5\;\Rightarrow\;3-x=5\;или\;3-x=-5. \) Поэтому решить нужно оба варианта уравнения: x = 3 — 5 x = 3 — (- 5) x = — 2 x = 8Корни уравнения: — 2 и 8.Или посложнее: \( \left|6-5x\right|=2x+1 \)Сразу напомним себе, что \( 2x+1\geq0 \), следовательно, \( 2x\geq-1,\;и\;x\geq-\frac12 \).Теперь два варианта для положительного и отрицательного выражения под знаком \( \left|M\right| \)6 — 5x = 2x + 1 или 6 — 5x = — 2x — 1 7x = 5 3x = 7x = \( х=\frac57 \) x = \( х=\frac73 \) x = \( х=2\frac13 \)Все условия соблюдены, уравнение имеет два корня: \( \frac57 \) и \( 2\frac13 \).

Неравенства

Таблица 1. Неравенства

Фактически придется решить два неравенства. Подробнее на примере: \( \left|x-6\right|<12 \) (помним про возможные “+12” и “-12”).Определим промежуток для \( \left|М\right|:-12<x-6<12 \)Составим систему из двух неравенств и решим их:\( -12<x-6\;\Rightarrow\;x>-\;6 \) \( \;x-6<12\;\Rightarrow\;x<18 \)Таким образом, корни неравенства – все значения x ∈ (-6;18).А теперь то же самое с противоположным знаком: \( \left|x-6\right|>12 \)Выражение в \( \left|M\right| \) должно стать “меньше маленького” и “больше большого”:\( \;x-6<-12\;\Rightarrow\;x<-6 \)\( x-6>12\;\Rightarrow\;x>18 \)Корни неравенства – x ∈ (- ∞ ; — 6) ∪18; + ∞).

Заключение

Самое важное, что нужно знать: модуль не может быть отрицательным. Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов

Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов.

В качестве итогов, напомним все свойства, которые помогут в решении задач:

когда положительное число находится внутри модуля, достаточно просто избавиться от него,
если есть выражение, нужно его упростить, прежде чем найти абсолютное значение,
если равенство содержит две переменные, нужно решать его с помощью системы уравнений и за основу брать методы решения выражений с абсолютными величинами.

Решать равенства и неравенства можно разными способами, но лучше всего использовать графический способ или метод интервалов.