Методы решения дифференциальных уравнений

Что называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах?

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

,

где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.

Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении
уравнений в полных дифференциалах) через и скоро вернёмся к ней.

Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен
быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом. Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением
того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах

Эта проверка
является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе
этого урока), так процесс поиска функции достаточно трудоёмкий
и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением
того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах

Эта проверка
является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе
этого урока), так процесс поиска функции достаточно трудоёмкий
и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через .
Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением
в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по
определению

.

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

.

Решая два последних равенства, можем записать

.

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

.

Так как

,

получим

,

что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой
уравнение в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx

Определение 1

Уравнениями с разделенными переменными называют ДУ вида f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, переменные, входящие в состав выражения, находятся по обе стороны от знака равенства.

Договоримся, что функции f(y) и g(x) мы будем считать непрерывными.

Для уравнений с разделенными переменными общий интеграл будет иметь вид ∫f(y)dy=∫g(x)dx. Общее решение ДУ в виде неявно заданной функции Ф(x, y)= мы можем получить при условии, что интегралы из приведенного равенства выражаются в элементарных функциях. В ряде случаев выразить функцию у получается и в явном виде.

Пример 1

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными y23dy=sin xdx.

Решение

Проинтегрируем обе части равенства: 

∫y23dy=∫sin xdx

Это, по сути, и есть общее решение данного ДУ. Фактически, мы свели задачу нахождения общего решения ДУ к задаче нахождения неопределенных интегралов.

Теперь мы можем использовать таблицу первообразных для того, чтобы взять интегралы, которые выражаются в элементарных функциях:

∫y23dy=35y53+C1∫sin xdx=-cosx+C2⇒∫y23dy=∫sin xdx⇔35y35+C1=-cosx+C2
где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Функция 35y35+C1=-cosx+C2 задана неявно. Она является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Мы получили ответ и можем не продолжать решение. Однако в рассматриваемом примере искомую функцию можно выразить через аргумент х явно.

Получаем: 

35y53+C1⇒y=-53cosx+C35, где C=53(C2-C1)

Общим решением данного ДУ является функция y=-53cosx+C35

Ответ:

Мы можем записать ответ несколькими способами: ∫y23dy=∫sinxdx или 35y53+C1=-cosx+C2, или y=-53cosx+C35

Всегда стоит давать понять преподавателю, что вы наряду с навыками решения дифференциальных уравнений также располагаете умением преобразовывать выражения и брать интегралы. Сделать это просто. Достаточно дать окончательный ответ в виде явной функции или неявно заданной функции Ф(x, y)=.

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:(2)   .

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных и . Точка также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия . Пусть левая часть уравнения является дифференциалом некоторой функции . Тогда;. Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то;. Отсюда следует, что   . Необходимость условия доказана.

Докажем достаточность условия . Пусть выполняется условие :(2)   . Покажем, что можно найти такую функцию , что ее дифференциал:. Это означает, что существует такая функция , которая удовлетворяет уравнениям:(3)   ;(4)   . Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение по от до , считая что – это постоянная:;;(5)   . Дифференцируем по считая, что – это постоянная и применим :. Уравнение будет выполнено, если. Интегрируем по от до ;;. Подставляем в :(6)   . Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой. Достаточность доказана.

В формуле , является постоянной – значением функции в точке . Ей можно присвоить любое значение.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R

Дифференциальные уравнения y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2 можно свести к уравнениям y’=fxy или y’=fyx, следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x , y) — решение системы двух линейных однородных уравнений a1x+b1y+c1=a2x+b2y+c2= и вводятся новые переменные u=x-xv=y-y. После такой замены уравнение примет вид dvdu=a1u+b1va2u+b2v.

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения y’=x+2y-3x-1.

Решение

Составляем и решаем систему линейных уравнений:

x+2y-3=x-1=⇔x=1y=1

Делаем замену переменных:

u=x-1v=y-1⇔x=u+1y=v+1⇒dx=dudy=dv

После подстановки в исходное уравнение получаем dydx=x+2y-3x-1⇔dvdu=u+2vu. После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем dvdu=1+2vu.

Вводим новую переменную z=vu⇒v=z·y⇒dvdu=dzdu·u+z, тогда

dvdu=1+2vu⇔dzdu·u+z=1+2z⇔dz1+z=duu⇒∫dz1+z=∫duu⇔ln1+z+C1=lnu+C2⇒ln1+z=lnu+lnC, lnC=C2-C1ln1+z=lnC·u1+z=C·u⇔z=C·u-1⇔vu=C·u-1⇔v=u·(C·u-1)

Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену u=x-1v=y-1:v=u·(C·u-1)⇔y-1=(x-1)·(C·(x-1)-1)⇔y=Cx2-(2C+1)·x+C+2

Это есть общее решение дифференциального уравнения.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными

Определение:

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

в некоторой области Q на плоскости хОу называется

1) гиперболическим в Ω, если

2) параболическим в Ω, если

3) эллиптическим в Ω, если

Пользуясь этим определением, легко проверить, что уравнения

— гиперболические при всех х и у, уравнение

— параболическое при всех х и у, а уравнение

— эллиптическое при всех х и у. Уравнение

— эллиптическое при у > 0, параболическое на линии у = 0 и гиперболическое в полуплоскости у < 0.

Можно показать, что при определенных условиях на коэффициенты уравнения (1) существует неособая замена независимых переменных

с помощью которой уравнение (1) преобразуется к более простому, каноническому виду, своему для каждого типа уравнения.

Уравнение гиперболического типа (∆ > 0) преобразуется к вшу

или

(два канонических вида уравнений гиперболического типа).

Уравнение параболического типа (∆ ≡ 0) преобразуется к виду

(канонический вид уравнения параболического типа).

Уравнение эллиптического типа (∆ < 0) преобразуется к виду

(канонический вид уравнения эллиптического типа). Здесь F и Ф — некоторые функции, зависящие от искомой функции и, ее первых производных и независимых переменных ξ, η. Вид функций F и Ф определяется исходным уравнением (1).

В некоторых случаях каноническая форма уравнения позволяет найти общее решение исходного уравнения.

Как правило, приведениеуравнения(1) к каноническому виду путем замены независимых переменных имеет локальный характер, т. е. осуществимо лишь в некоторой достаточно малой окрестности рассматриваемой точки Mo(xo, уo).

Когда число п независимых переменных больше двух, также различают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов. Например, при п = 4 простейшая каноническая форма таких уравнений имеет вид

Здесь и = и(х, у, z, t).

Замечание:

В общем случае, когда число независимых переменных больше двух, приведение линейною уравнения с переменными коэффициентами

к каноническому виду возможно только в данной точке и невозможно в любой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Мы ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. К таким уравнениям приводит большое количество различных физических задач.

Так, колебательные процессы различной природы (колебания струн, мембран, акустические колебания газа в трубах, электромагнитные колебания и т. д.) описываются уравнениями гиперболического типа. Простейшим из таких уравнений является уравнение колебаний струны (одномерное волновое уравнение): (2)

Здесь х — пространственная координата, t — время, где Т — натяжение струны, р — ее линейная плотность.

Процессы теплопроводности и диффузии приводят к уравнениям параболического типа. В одномерном случае простейшее уравнение теплопроводности имеет вид(3)

Здесь где р — плотность среды, с — удельная теплоемкость, k — коэффициент теплопроводности.

Наконец, установившиеся процессы, когда искомая функция не зависит от времени, определяются уравнениями эллиптического типа, типичным представителем которых является уравнение Лапласа(4)

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решением уравнения (2) является всякая функция и(х, t) вида

где

Можно показать, что решениями уравнения (3) являются функции вида

(А, а ~ произвольные постоянные, А — числовой параметр). Интегрируя решение и(х, t; λ) = уравнения (3) по параметру λ в пределах от — ∞ до + ∞ , получим так называемое фундаментальное решение U(x, t) = уравнения теплопроводности.

Наконец, нетрудно убедиться, что действительнозначные функции Рn(х,у) и Qn(x, у), определяемые из соотношения

являются решениями уравнения Лапласа (4) для п = 0, 1, 2…..Этот последний результат есть частный, случай общего утверждения, что и действительная и мнимая части аналитической функции

f(z) = u(x, у) + iv(x, у)

комплексного переменного z = х + iy являются решениями уравнения Лапласа (4).

В силу линейности уравнения (4) ряды

тоже будут решениями уравнения (4), если они сходятся равномерно, как и ряды, полученные из них двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов х, у.

Таким образом, для простейшей — канонической — формы уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов мы располагаем о решениях этих уравнений некоторой информацией.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня. 

Общий вид таких уравнений таков:

F(m,n,n’,n») = 0  

Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:

y» + ry’ + k = 0

При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.

Задача №6

Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:

Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:

Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5. 

Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:

Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:

y» + ry’ + ky = f(x)

Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами.

Задача №7

Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y» + y = cos x.

На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y» — y = 0. 

Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k2 + 1 = 0.

Корнями для данного характеристического уравнения являются k₁ = -i и k₂ = i. 

Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:

Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:

Теперь остается только подставить найденные выражения:

Частное и общее решение для уравнения можно записать:

Интегрирование дифференциального уравнения

Определение 2

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у  выражать через аргумент х  явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y»,…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Определение 3

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

• Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

  Запишем несколько примеров таких ДУ .

  Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x). В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ . Примерами таких ОДУ являются .

  Если существуют значения аргумента x, при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

  В статье простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Вы можете ознакомиться с подробной теорией и посмотреть примеры решения таких ОДУ.

• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида или .

  Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.

  Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

  Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx.

  В качестве примеров ОДУ с разделенными переменными приведем .

  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f₂(y) ⋅ g₁(x). То есть, получим . Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно f₂(y) ≠ 0 и g₁(x) ≠ 0. Иначе могут потеряться некоторые решения.

  Примерами ОДУ с разделяющимися переменными являются .

  Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

  Дифференциальные уравнения приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение с помощью подстановки z = 2x+3y приобретает вид .

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  ОДУ или преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен или . Например, дифференциальное уравнение после замены принимает вид .

  Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x2 или y2 числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения , чтобы оно соответствовало случаям или соответственно.

  Дифференциальные уравнения преобразуются к только что рассмотренным ОДУ или , если ввести новые переменные , где — решение системы линейных уравнений и провести некоторые преобразования.

  Например, дифференциальное уравнение после введения новых переменных преобразуется к виду . Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем . В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными .

  В разделе дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными подробно разобрана теория и приведены подробные решения аналогичных примеров.

• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка .

  В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести .

  Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x).

  В статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка подробно изложены методы интегрирования таких ЛНДУ и приведены подробные решения примеров и задач.

• Дифференциальное уравнение Бернулли .

  Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например, .

  Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой .

  Можно также пользоваться методом, основанным на представлении функции y как y(x) = u(x)v(x).

  В разделе дифференциальное уравнение Бернулли подробно расписаны методы нахождения решений и разобраны решения примеров и задач.

• Уравнения в полных дифференциалах .

  Если для любых значений x и y выполняется , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу.

  К примеру, левая часть дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал функции .

  Подробное описание теории и решение примеров изложены в разделе уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

• Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

  ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

  Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k ₁ = -3 и k ₂ = 0. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид

  Подробное описание теории и разобранные решения примеров и задач смотрите в разделе линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

  Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

  В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем

  Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

• Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

  Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

  Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y ₁ и y ₂ этого уравнения, то есть, .

  Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:

  Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

  Примером ЛОДУ является .

  Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где — общее решение соответствующего ЛОДУ, а — частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

  В качестве примера ЛНДУ можно привести .

  Теорию и решение примеров смотрите в разделе линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
• действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
• комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y=C1ek1x+C2ek2x;
• y=C1ekx+C2xekx;
• y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y»+3y’=. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2ex⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y»+py’+qy=, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y+y~.

Способ нахождения y мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y»-2y’=(x2+1)ex;y»+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Дифференциальные уравнения высших порядков.

• Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

  Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

  В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y.

  Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

  Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид , то его порядок может быть снижен на единицу заменой , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим
  и так далее.

  Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка.

  К примеру, дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными .

  Подробное решение подобных примеров представлено в статье дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.

• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и .

  Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . В этом Вам может помочь статья решение уравнений высших степеней. Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где — частное решение неоднородного дифференциального уравнения. можно определить методом вариации произвольных постоянных.

  В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ .

  Подробное описание теории и детальный разбор решения примеров смотрите в разделе линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и .

  Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где — общее решение соответствующего ЛОДУ, а — частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

  представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство в тождество. Частные решения обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

  Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.

  Итак, .

  Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков
Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, допускающие решение. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы, с подробным описанием методов решения и примерами.

Дифференциальное уравнение y(n) = f(x)
Рассмотрено дифференциальное уравнение, в котором n-я производная равна функции от независимой переменной x. Такое уравнение решается непосредственным интегрированием n раз. Также его можно решить, выполняя однократное интегрирование с помощью формулы Коши для повторных интегралов. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Формула Коши для повторных интегралов
Доказана формула Коши, которая сводит повторные интегралы от некоторой функции f к однократному. Показано, что эти интегралы являются частным решением дифференциального уравнения, в котором производная n-ой степени от y равна f(x), с нулевыми начальными условиями. Дано общее решение такого уравнения.

Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах
Приводятся типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, решаемых в квадратурах. Подробно изложены методы их решения. Разобраны пять примеров решений подобных задач.

Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего функцию y в явном виде. В таком уравнении порядок понижается с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего переменную x в явном виде. Такое уравнение сводится к уравнению более низкого порядка с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков
Показано как распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных. Рассмотрен способ решения таких уравнений. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной
Показано как понизить порядок дифференциального уравнения с полной (точной) производной. Рассмотрены методы выделения полной производной, и примеры применения этих методов для решения дифференциальных уравнений высших порядков.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка
Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка. Доказательство производится путем сведения уравнения к системе уравнений первого порядка.

Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений
Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений методом последовательных приближений Пикара.