Решение тригонометрических уравнений

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы.

Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

$ \displaystyle \text{sinx}=\text{a}$,
$ \displaystyle \text{cosx}=\text{a}$,
$ \displaystyle \text{tgx}=\text{a}$,
$ \displaystyle \text{ctgx}=\text{a}$.

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

$ \displaystyle sinx=1000$$ \displaystyle cos\left( 3{x}-sin\left( x \right) \right)=2$$ \displaystyle sin\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=-3$Корней не имеют!!!

Почему?

Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!!

Комбинированные уравнения

При решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции

Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Обратите внимание! Писать, что нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению которое, в свою очередь, больше или равно нулю

Нужно, чтобы поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ:

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Данное уравение равносильно системе:

Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту:

Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:

Знаки функций, входящих в тригонометрические уравнения, по координатным четвертям

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ:

Пример 7. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значения уравнения определяется условием: то есть Разобьем решение на два случая:

1) Пусть тогда уравнение принимает вид:

Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.

2) Пусть тогда уравнение принимает вид:

Условию удовлетворяет только последняя серия.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ:

ЕГЭ по математике 2012 позади, все в ожидании результатов, которые обещали объявить во вторник 19 июня. Сейчас уже поздно желать высоких баллов на экзаменах нынешним выпускникам. Но вот пожелать успехов сегодняшним десятиклассникам я возможности не упущу. Удачи вам в подготовке и помните, что чем раньше она начнется, тем лучше будут результаты на экзамене.

Репетитор математикиСергей Валерьевич

Если «арка» берется от отрицательного числа?

Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.

Что делать, если «арка» берётся от отрицательного числа?

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

$ \displaystyle \text{arcsin}\left( -\alpha \right)=-\text{arcsin}\alpha $
$ \displaystyle \text{arctg}\left( -\alpha \right)=-\text{arctg}\alpha $

И внимание!!!

$ \displaystyle \text{arcctg}\left( -\alpha \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{arcctg}\alpha $
$ \displaystyle \text{arccos}\left( -\alpha \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{arccos}\alpha $

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Решение 3-х примеров для самостоятельной работы

Решите уравнение $ \displaystyle sin\frac{\pi x}{3}=0,5$. В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решите уравнение $ \displaystyle tg\frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решите уравнение $ \displaystyle sin\frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}=-0,5$. В ответе напишите наименьший положительный корень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

Таблица арксинусов

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арктангенсов

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арккотангенсов

Тригонометрические тождества

$tgα={sinα}/{cosα}$
$ctgα={cosα}/{sinα}$
$sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

$tgα·ctgα=1$
$1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
$1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

$sin⁡t=-√{1-cos^2t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$

$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$

$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Вычислить $sin12cos18+cos12sin18$

Данное выражение является синусом суммы

$sin12cos18+cos12sin18= sin⁡(12+18)=sin30=0.5$

Задача (Вписать в ответ число)

Вычислить $sin{5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}$

Решение:

Данное выражение является синусом суммы

$sin {5π}/{12} cos {π}/{12}+cos {π}/{12} sin {5π}/{12}=sin⁡({π}/{12}+{5π}/{12})=sin {6π}/{12}=sin {π}/{2}=1$

Ответ: $1$

Алгоритм вычисления арксинусов и других «арок»

Смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число
Смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса или котангенса
Смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус, косинус, тангенс, котангенс равен числу, стоящему под аркой
Записываем ответ

Вот простой пример вычисления аркосинуса:

Решение:

Под аркой число $ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
Арка для функции – косинус!
Косинус какого угла равен $ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$? Угла $ \displaystyle \frac{\pi }{6}$ (или $ \displaystyle 30$ градусов!)
Тогда $ \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6}$

Сам посчитай:

$ \displaystyle \ arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$
$ \displaystyle \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Ответы:

40.588. Тригонометрические уравнения II

Тригонометрические уравнения части 2 предполагают:

1. Знание тригонометрических формул (основное тригонометрическое тождество и следствия из него, формулы двойного угла, формулы приведения, формулы суммы/разности тригонометрических функций).

2. Умение решать простейшие тригонометрические уравнения (с помощью формул или тригонометрического круга).

Первые два пункта должны быть идеально отработаны, так как станут фундаментом решения сложных заданий.

3. Знание метода разложения на множители и метода замены переменной.

4. Понимание сути однородных уравнений и методов их решения, а также знание других дополнительных методов решения, специфических для тригонометрии.

3. Методы разложения на множители и замены переменной универсальны для всех уравнений с различными видами функций.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

x3 – 5×2 = –6x

Метод разложения на множители

1. Переносим все влево, справа остается 0.

x3 – 5×2 + 6x = 0

2. Если все слагаемые содержат повторяющийся элемент, выносим его за скобку.

x(x2 – 5x + 6) = 0

*В противном случае группируем слагаемые так, чтобы получить повторяющийся элемент или выражение, которое выносим за скобку.

3. Получаем произведение выражений, равное нулю.

Разложим вторую скобку на множители:

x(x – 2)(x – 3) = 0

4. Приравниваем каждое из выражений нулю.

$ x(x-2)(x-3)=0 \leftrightarrow \left[\begin{array}{c} x=0 \\ x-2=0 \\ x-3=0 \end{array} \right. \leftrightarrow \left[\begin{array}{c} x=0 \\ x=2 \\ x=3 \end{array} \right. $

5. В ответ записываем решение всех получившихся уравнений.

Ответ: 0; 2; 3.

Точно также можно решать уравнения, если повторяющийся элемент — тригонометрическая функция.

Пример 2.

sinx – cosx = –sinxcosx + 1

1. Переносим все влево, справа остается 0.

sinx – cosx + sinxcosx – 1 = 0

2. Если все слагаемые содержат повторяющийся элемент, выносим его за скобку.

(sinx + sinxcosx) – (1 + cosx) = 0

sinx(1 + cosx) – (1 + cosx) = 0

3. Получаем произведение выражений, равное нулю.

(1 + cosx)(sinx – 1) = 0

4. Приравниваем каждое из выражений нулю.

$ (1+cos x)(sin x-1) = 0 \leftrightarrow \left[\begin{array}{c} 1+cos x=0 \\ sin x — 1 = 0 \end{array} \right. \leftrightarrow \left[\begin{array}{c} cos x=-1 \\ sin x = 1 \end{array} \right. $

5. Далее решаем полученные простейшие тригонометрические уравнения и записываем ответ.

Пример 3.

sin2x – 6sinx = –5

Метод замены переменной:

1. Видим, что уравнение похоже на квадратное, но вместо аргумента стоит функция, которая зависит от аргумента.

Вводим замену, выделив повторяющийся элемент.

$ sin^{2}x-6sin x = -5 \rightarrow \begin{cases}sin x = t\\t^{2}-6t=-5\end{cases} $

2. Новая переменная должна иметь те же ограничения, что и заменённый элемент.

Записываем дополнительные условия $ sin \; x, cos \; x \; \in $

$ t \; \in $

3. Решаем уравнение с новой переменной.

В данном случае решаем квадратное уравнение.

$ t^{2}-6t=-5 \rightarrow t^{2}-6t+5=0 \rightarrow \left[\begin{array}{c} t=1 \\ t = 5 \end{array} \right. $

4. Возвращаемся к исходной переменной.

$ \begin{cases}t \in \\ \left[\begin{array}{c} t=1 \\ t = 5 \end{array} \right. \end{cases} \rightarrow t = 1 \rightarrow sin \; x = 1 $

5. Решаем получившиеся простейшие тригонометрические уравнения.

4. Однородные уравнения бывают разные.

Уравнение, в котором все функции стоят в первой степени, а справа стоит 0, называется однородным уравнением первой степени.

Однородные уравнения 1 степени: вида asinx + bcosx = 0

Например, 2sinx + 3 cosx = 0 — однородное уравнение, для решения которого необходимо поделить на одну из представленных функций, например, на cosx.

Важно! В однородных уравнениях мы имеем право делить на cosx, так как знаем, что cosx=0 не является корнем уравнения (в противном случае sinx = 0 тоже было бы корнем уравнения, что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Уравнение, в котором каждое слагаемое — это функция во второй степени или произведение двух функций, а справа стоит 0, называется однородным уравнением второй степени

Уравнение, в котором каждое слагаемое — это функция во второй степени или произведение двух функций, а справа стоит 0, называется однородным уравнением второй степени.

Однородные уравнения 2 степени: вида asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0.

Например, sin2x + 3sinxcosx + 2cos2x = 0 — однородное уравнение, для решения которого необходимо поделить на одну из представленных функций, например, на cos2x, для приведения к уравнению, похожему на квадратное.

Прочитано
Отметь, если полностью прочитал текст

Простейшие тригонометрические уравнения

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

$ \displaystyle \frac{2}{2{x}-11}=\frac{1}{3}$тригонометрическим?

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции $ \displaystyle \left( sin x,cos x,tg x,ctg x \right)$ в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

$ \displaystyle sin2x+3x=2$И опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа.

Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную ($ \displaystyle 3x$).

Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих раздела этой статьи.

Но вернёмся к вопросу: «Что же такое тригонометрические уравнения?»

Например:

$ \displaystyle 6co{{s}^{2}}x+5sin{x}-7=0$
$ \displaystyle sin\pi \sqrt{x}=-1$
$ \displaystyle \frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx=1$ и т.д.

Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

$ \displaystyle sinf\left( x \right)=a$
$ \displaystyle cosf\left( x \right)=a$
$ \displaystyle tgf\left( x \right)=a$
$ \displaystyle ctgf\left( x \right)=a$

Где $ \displaystyle a$ – некоторое постоянное число.

Например: $ \displaystyle 0,5;~1;~-1;\pi ;\ ~1-\sqrt{3};~1000$ и т. д.

$ \displaystyle f\left( x \right)$ – некоторая функция, зависящая от искомой переменной $ \displaystyle x$, например $ \displaystyle f\left( x \right)=x,~f\left( x \right)=2-x,~f\left( x \right)=\frac{\pi x}{7}$ и т. д.

Такие уравнения называются простейшими!

Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии«

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ \{\table \cos (t)=a; \0≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Найдите наименьший положительный корень уравнения $сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

${2πx}/{3}=±arccos⁡(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-arccos{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±{5π}/{6} +2πk;kϵZ$

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$

$x=±{5π·3}/{6·2π} +{2π·3}/{2π}k$

$x=±1,25+3k$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения

$k=0$

$x_1= -1,25$

$x_2=1,25$

$к=1$

$х_1=3-1,25=1,75$

$х_2=3+1,25=4,25$

Нам подходит $1,25$ – это и есть результат

Ответ: $1,25$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ \{\table \sint=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ \{\table \tgt=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= — arctg a$

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Сентябрь 2021 (1) Июль 2021 (1) Июнь 2021 (2) Май 2021 (1) Апрель 2021 (1) Март 2021 (1) Сентябрь 2020 (1) Август 2020 (2) Июль 2020 (2) Июнь 2020 (2) Декабрь 2019 (3) Ноябрь 2019 (4) Октябрь 2019 (3) Сентябрь 2019 (2) Май 2019 (1) Октябрь 2018 (1) Июнь 2018 (1) Апрель 2018 (1) Январь 2018 (1) Ноябрь 2017 (1) Октябрь 2017 (1) Сентябрь 2017 (2) Август 2017 (4) Июль 2017 (5) Июнь 2017 (4) Май 2017 (5) Апрель 2017 (2) Март 2017 (1) Февраль 2017 (1) Январь 2017 (3) Декабрь 2016 (1) Ноябрь 2016 (2) Октябрь 2016 (3) Сентябрь 2016 (4) Август 2016 (6) Июль 2016 (9) Июнь 2016 (4) Май 2016 (5) Апрель 2016 (6) Март 2016 (5) Февраль 2016 (8) Январь 2016 (8) Декабрь 2015 (9) Ноябрь 2015 (4) Июль 2015 (1) Март 2015 (1) Февраль 2015 (1) Январь 2015 (1) Июль 2014 (1) Июль 2013 (1) Март 2013 (2) Декабрь 2012 (1) Ноябрь 2012 (1) Сентябрь 2012 (3) Август 2012 (4) Июль 2012 (4) Июнь 2012 (4) Май 2012 (4) Апрель 2012 (5) Март 2012 (7) Февраль 2012 (8) Январь 2012 (7) Декабрь 2011 (5) Ноябрь 2011 (1)

Решение 3-х более сложных уравнений

Уравнение 12. Найдите корни уравнения: $ \displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

$ \displaystyle cost=\frac{\sqrt{3}}{2}$То мы бы записали вот такой ответ:

$ \displaystyle t=\pm arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,~n\in Z$Или (так как $ \displaystyle arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$)

$ \displaystyle t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,~n\in Z$Но теперь в роли $ \displaystyle t$ у нас выступаем вот такое выражение: $ \displaystyle t=\frac{8\pi x}{6}$

Тогда можно записать:

$ \displaystyle \frac{8\pi x}{6}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто $ \displaystyle x$, без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при $ \displaystyle x$: для этого домножим наше равенство на $ \displaystyle 6$:

$ \displaystyle \frac{6\cdot 8\pi x}{6}=6\cdot \left( \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n \right)$$ \displaystyle 8\pi x=\pm \frac{6\pi }{6}+12\pi n$$ \displaystyle 8\pi x=\pm \pi +12\pi n$Теперь избавимся от $ \displaystyle \pi $, разделив на него обе части:

$ \displaystyle 8x=\pm 1+12n$Теперь избавимся от восьмёрки:$ \displaystyle \frac{8x}{8}=\pm \frac{1}{8}+\frac{12n}{8}$$ \displaystyle x=\pm \frac{1}{8}+\frac{3n}{2}$Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)$ \displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}$или$ \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}$Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать $ \displaystyle n$.