Определение системы уравнений
Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений
Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:
2·x+y=-3,x=5.
Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.
Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.
Определение 1
Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.
Разложение левой части уравнения на множители
Если нельзя использовать ни метод подстановки, ни способ сложения, то могут помочь другие методы. Например, иногда в одном ур-нии справа можно оставить ноль, а слева – разложить многочлен на множители.
Пример. Решите систему:
Решение. В верхнем ур-нии можно выполнить следующие преобразования:
9х2 – у2 = 3х – у
(3х – у)(3х + у) = (3х – у)
(3х – у)(3х + у) – (3х – у) = 0
Можно заметить, что в левой части находится разность двух выражений, содержащих множитель (3х – у). Этот множитель можно вынести за скобки, при этом вместо второго выражения останется только единица, ведь его можно переписать как (3х – у)•1 (при умножении на единицу любое выр-ние остается неизменным):
(3х – у)(3х + у) – (3х – у)•1 = 0
(3х – у)(3х + у – 1) = 0
(а откуда -1?)
Вспомним, что произведение равно нулю, если один из его сомножителей нулевой. Поэтому
3х – у = 0 или 3х + у – 1 = 0
у = 3х или у = 1 – 3х
Получили два возможных варианта выражения для у. Будем подставлять их во второе ур-ние:
при у = 3х
х2 + у = ху
х2 + 3х = х•3х
– 2х2 + 3х = 0
х(– 2х + 3) = 0
х = 0 или – 2х + 3 = 0
х1 = 0 или х2 = 1,5
Найдем значение у, учитывая, что у = 3х:
у1 = 3х1 = 3•0 = 0
у2 = 3х2 = 3•1,5 = 4,5
Имеем решения (0; 0) и (1,5; 4,5). Далее рассмотрим второй случай, когда у = 1 – 3х:
х2 + у = ху
х2 + (1 – 3х) = х(1 – 3х)
х2 + 1 – 3х = х – 3х2
Перенося слагаемые влево, получаем квадратное ур-ние:
х2 + 1 – 3х – х + 3х2 = 0
4х2 – 4х + 1 = 0
D = b2– 4ас = (– 4)2 – 4•4•1 = 0
Получаем, что у квадратного ур-ния есть лишь один корень:
х3 = – b/2а = 4/8 = 0,5
Найдем соответствующее ему значение у:
у3 = 1 – 3х3 = 1 – 3•0,5 = – 0,5
Получили третье решение: (0,5; – 0,5).
Ответ: (0; 0); (1,5; 4,5);(0,5; – 0,5).
Системы ур-ний часто используются при решении геометрических задач.
Пример. Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см2. Известно, что один из его катетов больше другого на 5 см. Каков периметр треугольника?
Решение. Традиционно катеты обозначают буквами а и b. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S = 0,5•ab
Отсюда следует ур-ние:
0,5ab = 150
Будем считать, что катет а больше, чем b. Тогда из условия можно записать
а = 5 + b
Итак, получается система:
Очевидно, что систему можно решить подстановкой а = 5 + b
0,5ab = 150
0,5ab = 150
0,5(5 + b)b = 150
(5 + b)b = 300
b2 + 5b – 300 = 0
Решая это квадратное ур-ние, легко получить два значения b: 20 и (– 15). По смыслу задачи длина катета должна измеряться положительным числом, а потому b = 20. Второй катет на 5 см меньше, то есть он равен 20 – 5 = 15 см. Длину гипотенузы с можно найти по теореме Пифагора:
с2 = а2 + b2 = 202 + 152 = 625
c = 25
Периметр треугольника – это сумма его сторон, она равна 25 + 20 + 15 = 60 см.
Ответ: 60 см.
Способ сложения
Если даны два верных равенства в системе уравнений, то можно складывать их правые и левые части, и равенство получится тоже верным.
В системе линейных уравнений складывать нужно левые и правые части каждого из них. Для того, чтобы избавиться, если это возможно, от одной из переменных. Цель — прийти к простому уравнению с одной переменной, которое не требует сложного решения.
Пошаговое решение
\(\left\{\begin{array}{l}2n-5m=8\\n+5m=19\end{array}\right.\)
1. Надо сложить отдельно правую часть первого уравнения с правой частью второго, а левую — с левой.
2n−5m+n+5m=8+19
2. Произвести необходимые вычисления (привести подобные в левой части и произвести сложение в правой) и найти значение одной из переменных. Получится:
3n=27
n=27÷3
n=9
3. Подставить полученное значение n в одно из уравнений системы (в любое), чтобы найти значение второй переменной. Выберем, например, уравнение номер 1:
2×9−5m=8
18−5m=8
−5m=8−18
−5m=−10
m=2
Ответ: n=9, m=2.
Замечание при решении уравнения
В примере выше изначально были даны уравнения с одинаковыми по модулю коэффициентами слагаемых (−5m и 5m). Такое явление нельзя назвать частым. Поэтому необходим навык приведения любых уравнений системы к такому виду. Для этого нужно научить способу домножения обеих частей уравнения на одно и тоже число, не равное нулю.
Пример
\(\left\{\begin{array}{l}4v+9t=1\\5v-18t=-28\end{array}\right.\)
В уравнении номер 2 видим переменную с числовым коэффициентом −18. А в первом ту же переменную с коэффициентом 9. Нам нужно сделать так, чтобы эта переменная убралась. Для этого нужно из 9 сделать 18. Возьмем уравнение номер 1. Произведем умножение обеих его частей на 2. Получим:
8v+18t=2
Теперь в обоих уравнениях есть одинаковые слагаемые, которые можно сократить. Для этого выполним метод сложения соответствующих частей обоих уравнений друг с другом.
Получим:
8v+18t+5v−18t=2+(−28)
13v=−26
v=−26÷13
v=−2
Теперь можно поставить полученное значение v в первое (или в любое) уравнение, чтобы найти t:
4×(−2)+9t=1
−8+9t=1
9t=1+8
9t=9
t=1
Ответ: v=−2, t=1
Как решить систему уравнений
Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.
Способ подстановки или «железобетонный» метод
Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».
Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.
Разберем способ подстановки на примере.
Выразим из первого уравнения «»
неизвестное «».
Важно!
Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:
- перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
- разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так,
чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.
Перенесём в первом уравнении «» всё что
содержит «» в левую часть,
а остальное в правую часть по
.
При «» стоит равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.
Теперь, вместо «» подставим во второе уравнение полученное выражение
«» из первого уравнения.
Подставив вместо «» выражение «»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.
Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка .
Мы нашли, что «».
Вернемся к первому уравнению «» и вместо «» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «».
Запишем в ответ оба полученных значения.
Способ сложения
Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.
По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.
Запомните!
При сложения уравнений системы
левая часть первого уравнения полностью складывается
с левой частью второго уравнения,
а правая часть полностью складывается с
правой частью.
При сложении уравнений мы получили уравнение «».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
Вернемся снова к исходной системе уравнений.
Чтобы при сложении неизвестное «» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «» стоял коэффициент
«».
Для этого умножим первое уравнение на «».
Важно!
При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.
Теперь сложим уравнения.
Мы нашли «».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «» полученное числовое
значение и найдем «».
Пример решения системы уравнения
Выразим из первого уравнения «».
Подставим вместо «» во второе уравнение полученное выражение.
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «» и
найдем «».
Пример решения системы уравнения
Рассмотрим систему уравнений.
Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.
Мы видим, что в обоих уравнениях есть «».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «».
Для этого достаточно умножить первое уравнение на «».
Теперь при сложении уравнений у нас останется только «» в уравнении.
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «» и
найдем «».
Уравнения с двумя переменными
Порою в ур-нии содержится не одна, а две переменных. Такие ур-ния мы уже . Приведем несколько примеров уравнений с двумя переменными:
2х – 5у = 8
4t3– 6ht = h4
– 14z + 5v/z = 8
В абсолютном большинстве таких задач для обозначения переменных используют буквы х и у. Решение указывают в виде пары чисел, причем на первом месте пишут значение х, а на втором – значение у. Например, несложно убедиться, что пара чисел (– 1; 3) является решением ур-ния
х(х – у) = 4.
Для этого надо лишь вместо х подставить (– 1), а вместо у – число 3:
(– 1)(– 1 – 3) = 4
4 = 4
Получили верное равенство. Заметим, что пара (– 1; 3) является не единственным решением ур-ния. Например, пара (2; 0) также обращает ур-ние в верное рав-во:
2(2 – 0) = 4
4 = 4
У ур-ний с двумя неизвестными, как и у ур-ний с одной неизвестной, можно определить степень. Для этого надо представить их в таком виде, когда слева записан многочлен, а справа – ноль. Тогда степень ур-ния будет равна степени многочлена. Так как ур-ние содержит две переменных, то для обозначения такого многочлена используется запись Р(х; у).
Пример. Определите степень уравнения
х(х2 + у) = х + 1
Решение. Раскроем скобки слева, а потом перенесем все слагаемые в одну сторону:
х(х2 + у) = х + 1
х3 + ху = х + 1
х3 + ху – х – 1 = 0
В левой части стоит многочлен третьей степени (подробнее об определении степени полинома можно узнать из ). Поэтому и степень ур-ния равна 3.
Ответ: 3
Нелинейные неравенства с двумя переменными
В случае с нелинейными нер-вами действует тот же принцип. Необходимо заменить знак сравнения на знак «=» и получить ур-ние, после чего построить график ур-ния. Он разобьет плоскость на несколько областей, в пределах которых исходное нер-во либо справедливо, либо нет.
Пример. Покажите множество решений нелинейного неравенства с двумя переменными
у – х2 + 5 > 0
Решение. Рассмотрим ур-ние
у – х2 + 5 = 0
Перенеся часть слагаемых вправо, можно получить функцию
у = х2 – 5
Построим ее график. Он представляет собой параболу, которая разбивает плоскость на две области:
Для определения того, выполняется ли нер-во в той или иной области, достаточно рассмотреть по одной точке в каждой из областей. Начнем с внутренней области. К ней относится начало координат, точка (0; 0). Подставив х = 0 и у = 0 в нер-во, мы увидим, что оно выполняется:
0 – 02 + 5 > 0
5 > 0
Во второй области выполняется обратное нер-во у – х2 + 5 < 0. В этом можно убедиться, взяв, например, точку (3; 0).
0 – 32 + 5< 0
– 4 < 0
В рассмотренном примере мы проверяли каждую из двух областей, хотя в случае линейных нер-в достаточно изучить лишь одну полуплоскость – в другой нер-во автоматически «меняло знак». Но, оказывается, что в случае с нелинейными нер-вами это правило может и не выполняться. Убедимся в этом на одном примере:
Пример. Отметьте на координатной плоскости множество решений нер-ва
х4 + 2х2у + у2> 0
Решение. Изучим ур-ние
х4 + 2х2у + у2 = 0
В левой части стоит слагаемых х2 и у:
(х2 + у)2 = (х2)2 + 2х2у + у2 = х4 + 2х2у + у2
С учетом этого ур-ние можно переписать так:
(х2 + у)2 = 0
х2 + у = 0
у = – х2
Построим график и определим, какое нер-во выполняется в полученных областях. В области I возьмем точку (0; – 1). При ее подстановке в исходное нер-во получаем:
04 + 2•02(– 1) + (– 1)2> 0
1 > 0
Однако и в области II выполняется то же самое нер-во. Это можно увидеть на примере точки (0; 1):
04 + 2•02•1 + 12> 0
1 > 0
Получается, что решениями нер-ва являются точки обеих областей. То есть надо заштриховать всю координатную плоскость, кроме самой кривой у = – х2 , которую мы покажем из-за этого штрихпунктирной линией:
Отдельно отметим, что возможны случаи, когда график ур-ния разбивает плоскость не на две, а на большее кол-во областей. В качестве примера можно привести нер-во
ху – 5> 0
Ему соответствует ур-ние ху – 5 = 0
Из него можно получить функцию у = 5/х, графиком которой является гипербола. Этот график образует 3 области. Будем действовать как и раньше – выберем из каждой области по одной точке и посмотрим, выполняется ли на нем нер-во ух – 5 > 0. Из области I возьмем точку (– 5; – 5):
ху – 5 = (– 5)•(– 5) – 5 = 25 – 5 > 0
Из II области выберем точку (5; 5):
ху – 5 = 5•5 – 5 = 20 > 0
Наконец, из III области возьмем точку (0; 0):
ху – 5 = 0•0 – 5 = 0 – 5 < 0
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.
Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:
По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.
Пример 3
Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям
Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения, при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.
1) Из первого уравнения системы выражаем:
Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?
И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.
2) Дифференцируем по обе части:
Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.
3) Подставим и во второе уравнение системы :
Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:
Теперь проводим упрощения:
В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.
Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение: – получены сопряженные комплексные корни, поэтому:.
Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:
Подставим в левую часть неоднородного уравнения:
Таким образом:
Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».
В результате:
4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :
Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.
Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.
Подставим
и 
в уравнение (*):
6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям :
Окончательно, частное решение:
Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.
Ответ: частное решение:
Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.
Пример проще для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям
Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.
В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.
Системы уравнений, решаемые особыми приемами
В гл. II, § 9 мы рассматривали системы уравнений вида
которые легко решаются при помощи формул Виета. Но, конечно, можно решать такие системы и способом исключения, описанным в предыдущем параграфе.
Часто встречающиеся системы уравнений вида
легко решаются методом исключения, но их можно решать и иначе. Именно, возведя в квадрат второе уравнение и вычитая из него первое, мы получим новое уравнение
которое является следствием данной системы. Объединив его с уравнением
мы получим систему, решаемую при помощи формул Виета.
Пример:
Решить систему
Решение:
Если х и у удовлетворяют уравнениям системы, то и следовательно, 2ху = — 8; ху = — 4. Таким образом, из данной системы следует система
для которой получаем два решения
Оба они удовлетворяют уравнениям исходной системы.
Ответ.
Еще проще решаются системы вида
Действительно, х² — y² = (x — у)(х + у), и потому если допустить, что х и у удовлетворяют обоим уравнениям системы, то (х—у) b = а, и следовательно, что вместе с уравнением х + у = b дает систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, являющуюся следствием исходной системы, которую легко решить. Таким же образом решается и система вида
Пример:
Решить систему
Решение:
Если х и у удовлетворяют уравнениям системы, то
и следовательно, х + у =b. Решая систему
получим х = 4; v = 1.
Ответ. х = 4; v = 1.
Наконец отметим системы вида
Такие системы уравнений можно решить способом исключения, именно, в силу второго уравнения что при подстановке в первое уравнение дает уравнение относительно х, легко сводящееся к биквадратному.
Однако здесь следует рекомендовать другой прием. Именно, если к первому уравнению добавить, а затем вычесть удвоенное второе, то мы получим новую систему
являющуюся следствием исходной.
Но новая система легко решается, ибо из нее следует, что
и система распадается на 4 системы уравнений первой степени
Следует отметить, что сопоставление результатов решения рассмотренной системы по способу исключения и при помощи указанного искусственного приема приводит к тем же соотношениям, которые были получены из сопоставления двух способов решения биквадратного уравнения.
График уравнения с двумя переменными
Очень часто ур-ние с 2 переменными имеет бесконечное число решений. Их удобно изображать в виде графика, ведь каждой паре чисел (х1; у1) соответствует точка на координатной плоскости с координатами х1 и у1.
Проще всего строить график уравнения с двумя переменными в том случае, когда удается выразить переменную у через х. Например, пусть надо построить график ур-ния
6х + 3у = 9
Выразим неизвестную величину у через х, то есть попытаемся получить ф-цию у = у(х):
6х + 3у = 9
3у = 9 – 6х
у = 3 – 2х
Построим график ф-ции у = 3 – 2х. Он одновременно будет являться и графиком ур-ния 6х + 3у = 9:
Не всегда можно так преобразовать ур-ние, чтобы получилась ф-ция у = у(х). Действительно, по определению функции, каждому значению аргумента должно соответствовать только одно значение ф-ции. Однако рассмотрим пример ур-ния
х – у2 = 0
Можно убедиться, что его обращают в верное рав-во пары чисел (1; 1) и (1; – 1):
12 – 12 = 0
12 – (– 1)2 = 0
Получается, что одному значению х(х = 1) соответствует сразу 2 значения у (у = 1 и у = –1). Это значит, что графиком такого ур-ния не может являться ф-ция у = у(х)
В данном случае возможно выразить х через у. Перенесем слагаемое у2 вправо:
х = у2
Получили «перевернутую ф-цию» х = х(у), где не у зависит от х, а х от у. Ф-ция является квадратичной, а потому ее графиком будет парабола:
Так как х и у в ф-ции поменялись местами, то ось параболы стала не вертикальной, а горизонтальной.
Встречаются случаи, когда из ур-ния невозможно получить ни ф-цию у(х), ни ф-цию х(у). Рассмотрим ур-ние
х2 + у2 = 25
Его решениями являются пары чисел (0; 5) и (0; – 5). То есть значению х = 0 соответствует два значения у (5 и – 5), поэтому не получиться записать ф-цию у(х). С другой стороны, решениями ур-ния являются также пары (5; 0) и (– 5; 0), то есть значению у = 0 также соответствует два значения х (– 5 и 5), поэтому и записать ф-цию х(у) не удастся. Вообще данное ур-ние является частным случаем ур-ния
х2 + у2 = R2
где R– некоторое постоянное число, или параметр. Оно называется уравнением окружности, потому что его графиком как раз и является окружность.
Докажем это утверждение. Пусть на координатной плоскости есть точка А с произвольными координатами (х; у):
Опустим из А перпендикуляр на ось Ох в точку В. Получили прямоугольный треугольник ОАВ. Его катет ОВ равен у, а катет АВ = х. По теореме Пифагора можно найти длину гипотенузы ОА, которая и является расстоянием от О до А:
ОА2 = ОВ2 + АВ2 = х2 + у2
Окружность радиусом R– это множество точек, удаленных от центра на расстояние R. То есть расстояние ОА равно R, то точка А лежит на окружности радиусом R c центром в О:
х2 + у2 = ОА2 = R2
Таким образом, координаты любой точки, лежащей на расстоянии Rот центра, удовлетворяют ур-нию
х2 + у2 = R2
В частности, графиком ур-ния
х2 + у2 = 25
является окружность с радиусом 5 (так как 25 = 52)
Способ введения новых переменных
Это свойство систем уравнений имеет целью упрощение этих систем для более быстрого решения.
Существует два варианта подобного пути:
- введение одной новой переменной и только в одном уравнении системы;
- введение двух новых переменных в обоих уравнениях в одно и то же время.
Как вводить новую переменную
Новая переменная\ые вводятся вместо повторяющихся в уравнении сочетаний, заменяют их и тем самым упрощают всю систему. В результате замены получается два простых линейных уравнения, которые легко решаются.
Пример 1
\(\left\{\begin{array}{l}mn\times\begin{pmatrix}m&+n\end{pmatrix}=6\\mn+\begin{pmatrix}m&+n\end{pmatrix}=5\end{array}\right.\)
Вводим 2 новые переменные: вместо mn будет t, а вместо m+n поставим z. Это поможет упростить систему, получится:
\(\left\{\begin{array}{l}t\times z=6\\t+z=5\end{array}\right.\)
Далее легко найти значения переменных в получившихся уравнениях:
\(\left\{\begin{array}{l}t_1=2\\z_1=3\end{array}\right.\)
и
\(\left\{\begin{array}{l}t_2=3\\z_2=2\end{array}\right.\)
Далее нужно просто подставить эти значения вместо тех, которые заменяли введенные переменные, и дорешать получившиеся уравнения.
Пример 2
\(x\left\{\begin{array}{lc}\frac2{2m-n}&+\frac3{m-2n}=\frac12\\\frac2{2m-n}&-\frac1{m-2n}=\frac1{18}\end{array}\right.\)
Вводим новые переменные:
\(\frac2{2m-n} \)
заменим на t, а вместо
\(\frac1{m-2n}\)
поставим z. Теперь система примет такой вид:
\(\left\{\begin{array}{l}t+3z=\frac12\\t-z=\frac1{18}\end{array}\right.\)
Далее по методу сложения вычтем второе уравнение из первого. Получим:
\(\left\{\begin{array}{l}4z=\frac49\\t=\frac1{18}+z\end{array}\right.\)
Вычисляем корни, имеем:
\(\left\{\begin{array}{l}z=\frac19\\t=\frac16\end{array}\right.\)
Теперь вернем старые переменные:
\(\left\{\begin{array}{l}\frac2{2m-n}=\frac16\\\frac1{m-2n}=\frac19\end{array}\right.\)
Преобразуем:
\(\left\{\begin{array}{l}2m-n=12\neq0\\m-2n=9\neq0\end{array}\right.\)
Дальше используем подстановку:
\(\left\{\begin{array}{l}2\begin{pmatrix}9&+2n\end{pmatrix}-n=12\\m=9+2n\end{array}\right.\)
Решаем оба уравнения. В первом получается:
18+4n-n=12
3n=−6
n=−2
Во втором имеем:
m=9+2n
Подставляем значение n=−2:
m=9+(2×(−2)
m=9+(−4)
m=5
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
|
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. |
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
