Сложение и вычитание смешанных чисел

Как выделить из неправильной дроби целую часть

Обычно мы не указываем неправильную дробь в качестве итогового ответа. Принято доводить вычисления до конца и заменять ее либо натуральным числом (разделив числитель на знаменатель), либо смешанным числом. Как правило, первый способ используется, когда разделить числитель на знаменатель можно без остатка, а второй – если такое действие невозможно.

Когда мы выделяем из неправильной дроби целую часть, мы просто заменяем ее равным смешанным числом.

Разберем, как именно это делается.

Определение 2

Любая неправильная дробь ab –это смешанное число qrb. Здесь q представляет собой неполное частное, а r – это остаток от ab. Таким образом, целая часть смешанного числа есть неполное частное от деления ab, а дробная – это остаток.

Приведем доказательство этого утверждения.

Нам требуется пояснить, почему qrb=ab. Для этого смешанное число qrb надо представить в виде неправильной дроби, выполнив все шаги алгоритма из предыдущего пункта. Поскольку – неполное частное, а r – остаток от деления a на b, то должно выполняться равенство a=b·q+r.

Таким образом, q·b+rb=ab поэтому qrb=ab. Это и есть доказательство нашего утверждения. Подытожим:

Определение 3

Выделение целой части из неправильной дроби ab осуществляется таким образом:

1) производим деление a на b с остатком и записываем неполное частное q и остаток r отдельно.

2) Записываем результаты в виде qrb. Это и есть наше смешанное число, равное исходной неправильной дроби.

Пример 5

Представьте 1074 в виде смешанного числа.

Решение

Делим 104 на 7 столбиком:

Деление числителя a=118 на знаменатель b=7 дает нам в итоге неполное частное q=16 и остаток r=6.

В итоге мы получаем, что неправильная дробь 1187 равна смешанному числу qrb=1667.

Ответ: 1187=1667.

Нам осталось посмотреть, как заменить неправильную дробь натуральным числом (при условии, что ее числитель делится на знаменатель без остатка).

Для этого вспомним, какая связь существует между обыкновенными дробями и делением. Из этого можно вывести равенства: ab=ab=c. Получается, что неправильную дробь ab можно заменить натуральным числом c.

Пример 6

Например, если в ответе получилась неправильная дробь 273, то можем записать вместо нее 9, поскольку273=273=9.

Ответ: 273=9.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь  — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь 

Допустим, имеются три целые пиццы:

Если мы зададим вопрос «cколько раз  (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».

Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:

Поэтому значение выражения  равно 6.

Пример 2. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь 

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз  пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим 

Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз  (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 3. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь . Поэтому умножаем число 5 на 

Дробь  это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:

А выражение  определяет сколько раз  содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .

То есть  пиццы содержится в пяти целых пиццах  раза.

Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по 

Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой  от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в  пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти

Поэтому значение выражения  равно 

Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби

Очевидно, что любое заданное смешанное число будет больше единицы. Уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, тогда эта дробь – неправильная. Необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, и далее выполнение действия вычитания смешанного числа из обыкновенной дроби сведется к вычитанию смешанных чисел.

Пример 8

Необходимо выполнить вычитание: 749-612

Решение 

В первую очередь выделим целую часть неправильной уменьшаемой дроби: 749=829 , тогда заданный пример примет вид: 749-612=829-612

Найдем наименьший общий знаменатель: НОК (9, 2) = 18.

Получим: 29=2·29·2=418 и 12=1·92·9=918.

Тогда:

829-612=8418-6918=8+418-6+918=8-6-918+418==2-918+418=1+1-918+418=1+1-918+418==1+1-918+418=1+918+418=1+918+418==1+9+418=1+1318=11318

Ответ: 749-612=11318

Полноценный разбор примера

Для полноценного представления сущности смешанного значения следует привести в пример задачу, которая поможет отобразить смысл повествования задуманного. Итак, Вася проехал круг вокруг школы на велосипеде за 1 минуту и 30 секунд, а потом еще круг прошел пешком за 3 минуты и 30 секунд. Сколько времени затратил Вася на всю прогулку вокруг школы?

Этот пример направлен на сложение смешанных чисел, которые предварительно в данном случае даже не придется переводить в секунды. Получается, что сложение осуществляется путем отдельного прибавления минут и секунд. В результате получим следующий результат:

1. Сложение минут – 1+3=4.
2. Сложение секунд = 30+30=60 секунд = 1 минута.
3. Общее значение 4 минуты+1 минута = 5 минут.

Если исходить из математического отображения, то представленные действия можно выделить в одном выражении:

Из представленного выше становится понятным, что складывать смешанные числа следует в отдельности по частям – сначала целые части, а затем дробные. Если дробное число дает еще целое значение, его также складывают с целым полученным ранее значением. К полученному целому значению прибавляют дробную часть – получается смешанное число.

Основные правила вычитания десятичных дробей

Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности дробей обыкновенных. Раньше мы говорили о том, что десятичные дроби можно записывать в виде обыкновенных дробей. Исходя из этого правила, разберем несколько примеров нахождения разности.

Пример 1

Найдите разность 3,7-,31.

Решение 

Переписываем десятичные дроби в виде обыкновенных: 3,7=3710 и ,31=31100.

Что делать потом, мы уже изучали. Мы получили ответ, который переводим обратно в десятичную дробь: 339100=3,39.

Подсчеты, связанные с десятичными дробями, удобно производить столбиком. Как же пользоваться этим методом? Покажем, решив задачу.

Пример 2

Вычислите разность между периодической дробью , (4) и периодической десятичной дробью ,41(6).

Решение

 Переведем записи периодических дробей в обыкновенные и подсчитаем.

,4(4)=,4+,004+…=,41-,1=,4,9=49.,41(6)=,41+(,006+,0006+…)=41100+,006,9==41100+6900=41100+1150=123300+2300=125300=512

Итого: ,(4)-,41(6)=49-512=1636-1536=136  

Если нужно, ответ мы можем представить в виде десятичной дроби:

Ответ: ,(4) −,41(6) =,02(7). 

Разберем далее, как найти разность, если у нас в условиях стоят бесконечные непериодические дроби. Такой случай также можно свести к нахождению разности конечных десятичных дробей, для чего понадобится округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно самого меньшего из возможных).

Пример 3

Найдите разность 2, 77369…-,52.

Решение

Вторая дробь в условии – конечная, а первая – бесконечная непериодическая. Мы можем округлить ее до четырех знаков после запятой: 2,77369…≈2,7737. После этого можно выполнять вычитание: 2,77369…−,52≈2,7737−,52.

Ответ: 2,2537. 

Сложение смешанных чисел

На одном блюде лежало $ 2\frac{1}{4} $ пирога с клубникой, а на другом $ 3\frac{2}{4} $ пирога с черникой. Сколько всего пирогов было на двух блюдах вместе?

Чтобы решить эту задачу, нужно сложить сначала целые части смешанных дробей, а потом их дробные части.

$$2\frac{1}{4}+3\frac{2}{4}=$$

$$2+3+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=$$

$$5+\frac{1+2}{4}=5+\frac{3}{4}=$$

$$5\frac{3}{4}$$

На самом деле это довольно простые примеры, и можно написать сразу:

$$2\frac{1}{4}+3\frac{2}{4}=5\frac{3}{4}$$

Рисунок 4

А если бы пирогов было на $\frac{2}{4}$ больше? У нас получилось бы $5\frac{5}{4}$, то есть дробная часть была бы неправильной дробью. Как думаете, что нужно делать в таких случаях?

Показать ответ

Скрыть

Нужно выделить целую часть из неправильной дроби и прибавить её к целой части.

$$5\frac{5}{4}=5+\frac{5}{4}=5+1\frac{1}{4}=6\frac{1}{4}$$

Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа

Схема вычитания правильной дроби из смешанного числа такая же, как при действии вычитания смешанных чисел.

Пример 4

Найти разницу: 356-415

Решение:

Приведем дробные части заданных чисел к единому наименьшему общему кратному: НОК (6, 15) = 30, тогда 65=5·56·5=2530 и 415=4·215·2=830 .

Таким образом, 56>415 .

В итоге вычитание возможно произвести так: 356-415=3+56-415=3+56-415=3+2530-830=3+1730=31730

Ответ: 356-415=31730

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 5

Произвести действие вычитания: 127-37

Решение

Дробные части исходных чисел имеют одинаковый знаменатель, что дает возможность их легко сравнить. Понятно, что 27 меньше, чем 37.

Тогда находить разницу будем так:

127-37=1+27-37=1-37+27=11-37+27==77-37+27=47+27=67

Ответ: 127-37=67.

Добавим еще одну, в общем очевидную деталь вычислений: если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то итогом вычисления будет число, равное целой части уменьшаемого смешанного числа. К примеру:

16311-311=16+311-311=16+311-311=16+=16

Чтобы вычесть неправильную дробь из смешанного числа, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, а затем производить вычисление.

Пример 6

Вычислить значение разности: 7512-199 .

Решение: вычитаемая дробь является неправильной, выделим из нее целую часть и получим: 199=219

Приведем к общему знаменателю дробные части заданных чисел и согласно указанным выше схемам произведем вычитание смешанных чисел:

7512-219=7+512-2+19=7-2+512-19==5+1536-436=5+1136=51136

Ответ: 7512-199=51136 .

Сложение смешанных чисел

Всего мы рассмотрим три типа сложения со смешанными числами. В каждом подпункте приведено необходимое правило и примеры выполнения решений.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Первое правило сложения смешанных чисел Чтобы сложить смешанное число и натуральное число, прибавьте натурально число к целой части смешанного числа, а дробную часть оставьте нетронутой.

Представим первое правило в виде буквенных выражений.

Выполним сложение смешанного числа и натурального числа d.

Известно, что любое смешанное число равное сумме целой и дробной частей.

Это значит, что

Тогда

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел с натуральными числами.

Пример 1. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 18.

Как решаем:

Записываем выражение

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа:

Дробная часть записывается без изменений:

Решаем:

Ответ:

Пример 2. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 10.

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа:

Дробная часть записывается без изменений:

Решаем:

Ответ:

Пример 3. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 2.

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа:

Дробная часть записывается без изменений:

Решаем:

Ответ:

Сложение смешанного числа со смешанным числом

Второе правило сложения смешанных чисел Чтобы сложить смешанное число с другим смешанным числом, сложите сначала целые части этих чисел, а затем — дробные части.

Представим правило в виде буквенных выражений.

Выполним сложение смешанного числа и смешанного числа

Следуя правилу, запишем выражение в виде:

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел.

Пример 1. Сложите смешанное число и смешанное число

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, складываем последовательно целые части смешанных чисел, затем складываем дробные части:

Решаем: складываем целые части 2 + 7 = 9.

Чтобы выполнить сложение дробных частей, воспользуемся правилом сложения дробей с разными знаменателями: приведем дроби к наименьшему общему знаменателю и выполним сложение.

Наименьшее общее кратное — 15.

Если в результате сложения получилась сократимая дробь, сокращайте, не задумываясь: сокращаем на

Ответ:

Пример 2. Сложите смешанное число и смешанное число

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, складываем последовательно целые части смешанных чисел, затем складываем дробные части:

Решаем: складываем целые части 13 + 2 = 15.

Складываем дробные части

Наименьшее общее кратное 12 и 20 равно 60.

Сокращаем дробь на 2 =

Ответ:

Таким же образом можно складывать три, четыре и больше натуральных чисел. Не забывайте сокращать дроби и выделять целые части из неправильных дробей.

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Третье правило сложения смешанных чисел 1 Чтобы выполнить сложение смешанного числа и правильной дроби, прибавьте к дроби дробную часть смешанного числа, а целую часть оставьте без изменений.

Представим правило в виде буквенного выражения.

Если нам нужно сложить смешанное число и правильную дробь , то запишем следующее выражение:

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел с обыкновенными дробями.

Пример 1. Выполните сложение обыкновенной дроби и смешанного числа 5

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, складываем дробь с дробной частью смешанного числа:

Складываем дроби

Наименьшее общее кратное 5 и 20 равно 5.

, сокращаем на 4,

Ответ:

Пример 2. Выполните сложение правильной дроби и смешанного числа

Как решаем:

Записываем выражение:

Следуя правилу, складываем дробь с дробной частью смешанного числа:

Складываем дроби

Наименьшее общее кратное 4 и 2 равно 2.

Ответ:

Чтобы выполнить сложение смешанного числа и неправильной обыкновенной дроби, выделите целую часть из неправильной дроби и выполните сложение смешанных чисел.

Пример 3: выполните сложение и

Выделим целую часть из неправильной дроби:

Теперь можем выполнить сложение двух смешанных чисел:

Вычисляем:

Наименьшее общее кратное 5 и 2 = 10

Выделим целую часть:

Ответ:

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Основные свойства дробей 1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю. 2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. 3. Равными называются такие a/b и c/d, если: a * d = b * c. 4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

• От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
• Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
• Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
• При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей. 

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить результат суммы двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:

1. Найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя.

Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

• 90 : 15 = 6,
• 90 : 18 = 5.

Полученные числа записываем справа сверху над числителем.

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

4. Проверим полученный результат:

• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.

Еще раз ход решения одной строкой:

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

• Раз 
• Два
• Три

Умножение целого числа на дробь

Чтобы целое число умножить на дробь, достаточно умножить это целое число на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, умножим число 5 на дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби 

В ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:

Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

Пример 4. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби 

Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.

Пример 1. Разделим дробь  на число 2

Чтобы разделить дробь  на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь 

Пусть имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно дробь  умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь

Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:

Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ .

Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:

Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть   представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:

Шаги

Метод 1 из 4: Перечисление кратных

1
Перечислите кратные каждого знаменателя. Составьте список из нескольких кратных для каждого знаменателя в уравнении. Каждый список должен состоять из произведения знаменателя на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример: 1/2 + 1/3 + 1/5

Кратные 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; т.д.

Кратные 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; т.д.

Кратные 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; т.д.

2
Определите наименьшее общее кратное. Просмотрите каждый список и отметьте любые кратные числа, которые являются общими для каждого оригинального знаменателя

После выявления общих кратных определите наименьший знаменатель.

Обратите внимание, что если не найден общий знаменатель, возможно, потребуется продолжить выписывать кратные до тех пор, пока не появится общее кратное число.
Пример: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30

НОЗ = 30

3
Перепишите исходное уравнение. Числители будут равны произведению на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

Пример: 15 * (1/2); 10 * (1/3); 6 * (1/5)
Новое уравнение: 15/30 + 10/30 + 6/30

4
Решите

После нахождения НОЗ и изменения соответствующих дробей, просто вычислите значение этого сложения.

Пример: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

Метод 2 из 4: Использование наибольшего общего делителя

1. 1
   Вычислите наибольший общий делитель (НОД) для каждого знаменателя. Найдите НОД через перечисление возможных делителей каждого знаменателя.

2. Пример: 3/8 + 5/12
3. Делители 8: 1, 2, 4, 8
4. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
5. НОД: 4

6. 2
   Перемножьте знаменатели между собой.

7. Пример: 8 * 12 = 96

8. 3
   Разделите полученное значение на НОД. Полученное число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).

9. Пример: 96 / 4 = 24

10. 4
    Перепишите исходное уравнение. Числители будут равны произведению на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

11. Пример: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
12. 3 * (3/8) = 9/24; 2 * (5/12) = 10/24
13. 9/24 + 10/24

14. 5
    Решите уравнение. НОЗ найден; просто найдите значение этой суммы.

15. Пример: 9/24 + 10/24 = 19/24

Метод 3 из 4: Разложение каждого знаменателя на простые множители

1. 1
   Разложите каждый знаменатель на простые множители. Напомним, что простые множители – числа, которые делятся только на 1 или самих себя.

2. Пример: 1/4 + 1/5 + 1/12
3. Простые множители 4: 2 * 2
4. Простые множители 5: 5
5. Простые множители 12: 2 * 2 * 3

6. 2
   Подсчитайте число раз каждый простой множитель есть у каждого знаменателя.

7. Пример: Есть две 2 для знаменателя 4; нуль 2 для 5; две 2 для 12
8. Есть нуль 3 для 4 и 5; одна 3 для 12
9. Есть нуль 5 для 4 и 12; одна 5 для 5

10. 3
    Возьмите только наибольшее число раз (эти множители есть в любом знаменателе) для каждого простого множителя.

11. Например: наибольшее число раз для множителя 2 — 2 раза; для 3 – 1 раз; для 5 – 1 раз.

12. 4
    Запишите по порядку найденные в предыдущем шаге простые множители (с учетом наибольшего числа раз).

13. Пример: 2, 2, 3, 5

14. 5
    Перемножьте эти числа. Результат произведения этих чисел равно НОЗ.

15. Пример: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
16. НОЗ = 60

17. 6
    Перепишите исходное уравнение. Числители будут равны произведению на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

18. Пример: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
19. 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
20. 15/60 + 12/60 + 5/60

21. 7
    Решите.

22. Пример: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

Метод 4 из 4: Работа со смешанными числами

1
Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель и сложите с числителем – это будет числитель неправильной дроби. Целое число тоже превратите в дробь (просто поставьте 1 в знаменателе).

Пример: 8 + 2 1/4 + 2/3
8 = 8/1
2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4

Переписанное уравнение: 8/1 + 9/4 + 2/3

2
Найти наименьший общий знаменатель. Вычислите НОЗ любым способом, описанным выше

Для этого примера мы будем использовать метод «перечисление кратных».

Обратите внимание, что вам не нужно перечислять кратные для 1, так как любое число, умноженное на 1, равно самому себе; иными словами, каждое число является кратным 1.
Пример: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; т.д.
3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; т.д.
НОЗ = 12

3
Перепишите исходное уравнение. Числители будут равны произведению на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

Например: 12 * (8/1) = 96/12; 3 * (9/4) = 27/12; 4 * (2/3) = 8/12
96/12 + 27/12 + 8/12

4
Решите уравнение.

Пример: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

Общий знаменатель алгебраических дробей

Если говорить про обыкновенные дроби, то общим знаменателем является такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Для обыкновенных дробей 12 и 59 число 36 может быть общим знаменателем, так как без остатка делится на 2 и на 9.

Общий знаменатель алгебраических дробей определяется похожим образом, только вместо чисел используются многочлены, так как именно они стоят в числителях и знаменателях алгебраической дроби.

Определение 1

Общий знаменатель алгебраической дроби – это многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.

В связи с особенностями алгебраических дробей, речь о которых пойдет ниже, мы чаще будем иметь дело с общими знаменателями, представленными в виде произведения, а не в виде стандартного многочлена.

Пример 1

Многочлену, записанному в виде произведения 3·x2·(x+1), соответствует многочлен стандартного вида 3·x3+3·x2. Этот многочлен может быть общим знаменателем алгебраических дробей 2x, -3·x·yx2  и y+3x+1 , в связи с тем, что он делится на x, на x2 и на x+1. Информация о делимости многочленов есть в соответствующей теме нашего ресурса.

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:

Получили   . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь

Теперь свернем полученное смешанное число:

Таким образом, значение выражения  равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

Пример 2. Найти значение выражения

Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

Теперь вычислим дробные части:

Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число 

Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа  . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

Сложим целые части. Получаем 9

Сворачиваем готовый ответ:

Таким образом, значение выражения  равно .

Полное решение этого примера выглядит следующим образом:

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

• привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
• отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Пример 3. Найти значение выражения 

Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:

Вычитаем две смешанные дроби с одинаковыми знаменателями.

Не будем далеко ходить и придумывать новый пример с вычитанием смешанных дробей с одинаковыми знаменателями, мы уже сделали это выше, только не рассмотрели его подробно.

Итак… у нас есть две смешанные дроби :

5|1/5 — 2|2/5.

Нам нужно две смешанные дроби превратить в неправильные дроби

Начнем с первой дроби — превращаем её в обычную(неправильную дробь) :

Отделяем целое число 5 от дроби.

Представляем это число в виде дроби 5/1.

Находим общий знаменатель, он равен 5.

Умножаем данную дробь на 5, как вы наверное знаете. что если дробь умножить на число, то значение дроби не изменится! 5 * 5/1 * 5 = 25/5

И у нас осталась отдельная дробь прибавляем к 25/5 + 1/5 = 26/5

515 =

5 + 15 =
51 + 15 =
5 * 51 * 5 + 15 =
25 + 15 =
265

Абсолютно аналогичную операцию проводим со второй смешанной дробью :

225 =

2 + 25 =
21 + 25 =
2 * 52 * 5 + 15 =
10 + 25 =
125

И далее нам только и остается вычесть одну от другой и выделить из результата целое число:

265 — 125 =
145 =
245

Как вычесть натуральное число из десятичной дроби и наоборот

Найти разность между конечной десятичной дробью и натуральным числом легче всего описанным выше способом – столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, необходимо записать в виде десятичной дроби, в дробной части которой стоят нули.

Пример 5

Вычислите 15-7,32.

Запишем уменьшаемое число 15 в виде дроби 15,00, поскольку дробь, которую нам нужно вычесть, имеет два знака после запятой. Далее выполняем подсчет столбиком, как обычно:

Таким образом, 15−7,32=7,68.

Если из натурального числа нам нужно вычесть бесконечную периодическую дробь, то мы опять же сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменяем периодическую десятичную дробь на обыкновенную.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 6

Вычислите разность 1-, (6).

Решение

Указанной в условии периодической десятичной дроби соответствует обычная 23.

Считаем: 1−,(6)=1−23=13.

Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь ,(3).

Если данная в условии дробь непериодическая, поступаем так же, предварительно округлив ее до нужного разряда.

Пример 7

Отнимите 4,274… от 5.

Решение 

Указанную бесконечную дробь мы округлим до сотых и получим 4,274…≈4,27.

После этого вычисляем 5−4,274…≈5−4,27.

Преобразуем 5 в 5,00 и запишем столбик:

В итоге 5−4,274…≈,73. 

Если перед нами стоит обратная задача – вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы выполняем вычитание из целой части дроби, а дробную часть не трогаем совсем. Мы поступаем так и с конечными, и с бесконечными дробями.

Пример 8

Найдите разность 37,505 – 17.

Решение

Отделяем от дроби целую часть 37 и вычитаем требуемое число из нее. Получаем 37,505−17=20,505.  

Наименьший общий знаменатель, как его найти?

В множестве чисел, являющихся общими знаменателями данных дробей, существует , которое называют наименьшим общим знаменателем. Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.

Определение.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, из всех общих знаменателей данных дробей.

Осталось разобраться с вопросом, как найти наименьший общий делитель.

Так как наименьшее общее кратное является наименьшим положительным общим делителем данного набора чисел, то НОК знаменателей данных дробей представляет собой наименьший общий знаменатель данных дробей.

Таким образом, нахождение наименьшего общего знаменателя дробей сводится к нахождению НОК знаменателей этих дробей. Разберем решение примера.

Пример.

Найдите наименьший общий знаменатель дробей 3/10 и 277/28.

Решение.

Знаменатели данных дробей равны 10 и 28. Искомый наименьший общий знаменатель находится как НОК чисел 10 и 28. В нашем случае легко : так как 10=2·5, а 28=2·2·7, то НОК(15, 28)=2·2·5·7=140.

Ответ:

140.

Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения:

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа  и  перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если от трёх целых пицц вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа и в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:

К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).

У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

Следующий пример: