Смешанные числа

Как делить десятичные дроби

На другую дробь

Это можно сделать двумя способами.

Первый — превратить десятичные дроби в обыкновенные. Например, 1,2 — это то же самое, что 1 2 /₁₀, или 12 /₁₀ в виде неправильной дроби, или 6 /₅ — если её сократить. Соответственно, процесс деления будет выглядеть так:

Теперь осталось перевести обыкновенную дробь обратно в десятичную. Для этого нужно умножить её на такое число, чтобы знаменатель получился кратным 10: 10, 100, 1 000 и так далее. В данном случае 4 /₅ умножаем на 2. Мы получим 8 /₁₀. Добавляем к этому нашу целую часть — 4 — и получаем итоговый результат 4,8.

Второй способ деления десятичных дробей — сначала превратить их в целые числа, а потом поставить запятую в получившемся результате.

• Найдите дробь, в которой больше всего знаков после запятой.
• Умножьте все дроби в примере на число, кратное 10, с таким же количеством нулей. Например, если у вас есть дробь 4,25 — это будет 100, а если 1,578 — 1 000.
• Разделите целые числа друг на друга столбиком.
• Отсчитайте слева направо столько знаков, сколько было добавлено нулей при умножении, и поставьте запятую.

Например: 7,44 ÷ 0,4 = (7,44 × 100) ÷ (0,4 × 100) = 744 ÷ 40 = 18,6.

На целое число

Десятичные дроби на целое число делите так же, как и обычные числа, столбиком. Когда в делимом (слева) закончится целая часть, поставьте запятую в частном (справа под чертой). Если делимое не удаётся разделить без остатка, добавляйте к нему нули, пока не получите конечный результат.

Как разделить целое число на дробь?

В категории Образование Спросил Balak

1 Ответ 2573 Просмотров 1 месяц назад

• Рассказать друзьям
• Добавить в избранное
• Поделиться

Для добавления вопроса на сайт, блог или форум просто скопируйте и вставьте в html код:

Чтобы разделить целое число на дробь, необходимо это число разделить на числитель дроби, а результат умножить на знаменатель.

Вопрос о делении целого числа на дробь бывает в двух случаях: когда дробь простая и когда дробь десятичная.

В случае десятичной дроби обычно затруднений не возникает, поскольку в этом случае действуют обычные правила деления одного числа на другое.

А вот в случае простой дроби необходимо пользоваться следующим правилом.

Для того чтобы разделить целое число на дробь, необходимо это число сначала разделить на числитель этой дроби, а после этого результат умножить на знаменатель дроби.

Для примера давайте разделим целое число пять, на дробь одна вторая (1/2).

Сначала число пять разделим на числитель, то есть на число один, в результате получим число пять. После этого число пять умножим на знаменатель, то есть на число два, в результате получим число десять.

Это и есть результат деления числа пять на дробь одну вторую.

Теперь давайте попробуем разделить число шесть на дробь две третьих (2/3).

Как и в предыдущем примере, сначала разделим число шесть на числитель дроби, то есть на число два, в результате получим число три. После этого число три умножим на знаменатель дроби, то есть на число три, в результате получим число девять.

Значит результатом деления числа шесть на дробь две третьих будет число девять.

Это правило годится во всех случаях деления целого числа на простую дробь.

Деление целого числа на десятичную дробь, производится как с обычными числами.

Научившись умножать обыкновенные дроби, несложно научиться их делить. Как обычно, рассмотрим какие случаи могут нам встретиться при вычислении примеров на деление дробей.

Умножение десятичных дробей: общие принципы

Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.

Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.

Посмотрим, как решаются такие задачи.

Пример 1

Вычислите произведение 1,5 и ,75.

Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что ,75 – это 75100, а 1,5 – это 1510. Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 1251000 мы запишем как 1,125.

Ответ: 1,125.

Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.

Пример 2

Умножьте одну периодическую дробь ,(3) на другую 2,(36).

Решение

Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:

,(3)=,3+,03+,003+,003+…=,31-,1=,39=39=132,(36)=2+,36+,0036+…=2+,361-,01=2+3699=2+411=2411=2611

Следовательно, ,(3)·2,(36)=13·2611=2633.

Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:

Ответ: ,(3)·2,(36)=,(78).

Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.

Пример 3

Вычислите произведение 5,382… и ,2.

Решение

У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5,382…≈5,38. Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5,38·,2=538100·210=1 0761000=1,076.

Ответ: 5,382…·,2≈1,076. 

Шаг

Метод 1 из 2: умножение двух смешанных дробей

1. Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

   Например, если у вас есть задача умножения 1 1/2 x 4 4/7, вы можете преобразовать обе дроби в неправильные дроби. Дробь 1 1/2 преобразуется в 3/2, а 4 4/7 превращается в 32/7. Итак, ваша задача умножения — 3/2 x 32/7.

   Чтобы преобразовать смешанное число, умножьте знаменатель на существующее целое число. После этого добавьте числитель к произведению. Поместите окончательный результат над линией и не меняйте знаменатель. Повторите этот шаг для другого смешанного числа.

2. Умножьте числители двух дробей. Когда у вас есть две неправильные дроби и больше нет целых чисел в вашей задаче, умножьте два числителя вместе. Напишите результат и поместите его над линией.

   • Числитель всегда стоит вверху дроби.
   • Например, для задачи 3/2 x 32/7 вы должны умножить 3 на 32, чтобы получить 96.

3. Умножьте знаменатели на две дроби.

   Например, для задачи 3/2 x 32/7 вы должны умножить 2 на 7, чтобы получить 14.

   Теперь умножьте число под чертой и запишите результат под числителем.

4. Если возможно, преобразовывайте свои ответы в смешанные числа. Если числитель в произведении больше, чем знаменатель, найдите число, которое дает сумму, которая ближе к числителю при умножении на знаменатель (это число позже будет действовать как целое число). После этого поместите разницу между знаменателем и целым произведением и числитель над знаменателем, чтобы получить форму смешанной дроби.

   • Например, если вы получили 96/14 в качестве произведения, найдите число, которое дает сумму, которая близка к 96 при умножении на 14. Это число равно 6, и вы получите 12 как разницу между произведением 14 x 6 и 96. Поставьте цифру 12 над знаменателем (14).
   • Обычно учитель просит вас записывать ответы в той же форме, что и вопросы. Если вы получили смешанное число в качестве проблемы, вам также нужно будет преобразовать ответ на проблему в смешанное число.

5. Упростите еще больше результаты, если возможно.

   В этом примере задачи ваш окончательный ответ — 6 6/7.

   Не исключено, что у вас получатся целые числа и дроби. Посмотрите на дробь и проверьте, можно ли ее упростить. Например, если у вас есть результат 6 12/14, разделите 12/14 на 2, чтобы упростить его до 6/7.

Метод 2 из 2: умножение дробей на целые числа

1. Перепишите целое число в виде дроби.

   Например, если у вас была задача 5 x 8/10, вы бы поставили 5 на 1. Теперь умножение будет 5/1 x 8/10.

   Чтобы преобразовать целое число в дробь, просто поместите его над числом 1 (знаменатель). После этого все число превратится в неестественную дробь.

2. Умножьте числители двух дробей.

   Например, в задаче 5/1 x 8/10 вы должны умножить 5 на 8, чтобы получить 40.

   Помните, что числитель — это число над линией. Напишите результат и проведите черту под продуктом.

3. Умножьте знаменатели двух дробей.

   Например, для задачи умножения 5/1 x 8/10 вы должны умножить 1 на 10, чтобы получить 10. Поместите число под линией так, чтобы произведение двух дробей было 40/10.

   На этом этапе вы можете умножить числа под линией, чтобы получить знаменатель продукта. Теперь у вас есть результат умножения в виде дроби.

4. По возможности сведите к минимуму ответы. Поскольку продукт, вероятно, является неправильной дробью, упростите результат до его наименьшего размера. Разделите числитель на знаменатель, чтобы получить более простой результат.

   • Чтобы упростить 40/10, разделите 40 на 10, чтобы получить 4 как новый ответ на задачу умножения.
   • Обычно вы получаете смешанные числа, потому что в результате деления будет остаток.

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной

Как умножать десятичные дроби столбиком

Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:

Определение 1

Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:

1

Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые

2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.

Разберем примеры таких расчетов на практике.

Пример 4

Умножьте десятичные дроби 63,37 и ,12 столбиком.

Решение

Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.

Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4. Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:

Ответ: 3,37·,12=7,6044.

Пример 5

Подсчитайте, сколько будет 3,2601 умножить на ,0254.

Решение 

Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:

Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:

Ответ: 3,2601·,0254=,08280654.

Как умножить одну обыкновенную дробь на другую

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей ab и cd это можно выразить как ab·cd=a·cb·d.

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 14 и 18 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8·4=32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 132 от площади всей фигуры, т.е. 132 кв. единицы.

Далее нам надо выделить цветом часть исходного квадрата так, как это сделано на рисунке:

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 58 числовой единицы и 34 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 58·34 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15, значит, общая площадь составляет 1532 квадратных единиц.

Поскольку 5·3=15 и 8·4=32, мы можем записать следующее равенство:

58·34=5·38·4=1532

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как ab·cd=a·cb·d. Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 711 на 98.

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9. У нас получилось 63. Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11·8=88. Составим их двух чисел ответ: 6388.

Все решение можно записать так:

711·98=7·911·8=6388

Ответ: 711·98=6388. 

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

 Вычислите произведение дробей 415 и 556.

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

415·556=4·5515·6=22090

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10.

Выполним сокращение дроби: 22090 НОД (220, 90)=10, 22090=220109010=229. В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 229=249.

Ответ: 415·556=249.

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a·cb·d. Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 415·556.

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

415·556=4·5515·6

Поскольку как 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 и 6=2·3, значит,4·5515·6=2·2·5·113·5·2·3.

Далее мы можем просто сократить некоторые множители и получить следующее: .

Нам осталось подсчитать несложные произведения в числителе и знаменателе и выделить целую часть из получившейся в итоге неправильной дроби:

2·113·3=229=249

Ответ: 415·556=249. 

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

ab·cd=cd·ab=a·cb·d

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д

Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:. Определение 2

Определение 2

Если мы умножим десятичную дробь на ,1, ,01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.

Так, для умножения 45,34 на ,1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4,534.

Пример 6

Умножьте 9,4 на ,0001.

Решение

Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9,4·,0001=,00094.

Ответ: ,00094.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, ,(18)·,01=,00(18) или 94,938…·,1=9,4938…. и др.

Как записать десятичную дробь

Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

Как решаем:

1. Знаменатель равен 10 — это один ноль.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак и ставим запятую.
3. В полученной десятичной дроби цифра 1 — целая часть, цифра 6 — дробная часть.

Ответ: 16/10 = 1,6.

Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.

Как решаем:

1. Знаменатель равен 1000 — это три нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Так как в числителе только две цифры, то на пустующие места пишем нули.
4. В полученной десятичной дроби цифра 0 — целая часть, 037 — дробная часть.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Как происходит умножение

Для проникновения в тайный смысл хитрого умножения дадим определение, что же все-таки это значит: чтобы совершить умножение числа на дробь, нужно найти дробь этого целого числа.

Поэтому что мы получаем? Для того чтобы умножить 5 на 2/3, нам нужно найти 2/3 от пяти.

Возникает естественный и значимый вопрос: почему же действия, которые с первого взгляда кажутся нам различными, такие, как поиск дроби и суммы равных чисел, в математике получили объяснение только одним словом — «умножение»?

Все это объясняется достаточно просто. Оба действия помогают нам решать очень похожие вопросы. Поэтому логичнее всего здесь будет понимать и принимать тот факт, что похожие задачи решаются одними и теми же действиями, и это в реальной жизни вполне оправдано.

Умножение дробей с разными знаменателями: виды дробей

Правило умножения дробей с разными знаменателями и одинаковыми — ничем не разнятся. Числители и знаменатели дробных чисел перемножаются отдельно друг от друга. Когда необходимо найти произведение смешанных дробных чисел, следует их вначале перевести в неправильные, а потом уже выполнять действия с ними. Дальше подробней о том, какие бывают дробные числа.

Существует несколько типов дробных чисел с разными знаменателями:

• Правильные — это те дробные числа, у которых числитель меньше знаменателя.
• Неправильные — те, у которых знаменатель меньше числителя или же равен ему.
• Смешанные — те числа, у которых имеется целое число.

Примеры:

Правильные дроби: 2/3, 3/5, 9/8, 11/12, 23/30, 123/145.

Как делать умножение дробей?

Неправильные дроби: 12/5, 11/3, 5/5, 34/11, 122/7, 151/76.

Смешанные дроби: это те же неправильные дробные числа с выделенным целым числом: 5/5 = 1, 12/5 = 2 2/5; 57/9 = 6 3/9 = 6 1/3.

Шаги

Метод 1 из 2:

Умножение обыкновенных дробей

1. 1

   Перемножьте числители дробей (числа сверху). Запишите дроби рядом. Например, умножая 1/2 на 12/48 сначала перемножьте 1 и 12. 1 x 12 = 12. Запишите ответ в числитель ответа.

2. 2

   Перемножьте знаменатели дробей. Теперь то же самое проделайте со знаменателями. Перемножьте 2 и 48. 2 x 48 = 96. Запишите этот ответ в знаменатель ответа. Таким образом, новая дробь — 12/96.

3. 3

   Упростите дробь.

   Если оба числа четные их можно просто делить на 2 и на 2 т.д. 12/96 ÷ 2/2 = 6/48 ÷ 2/2 = 3/24. Потом замечаем, что 24 делится на 3, и получаем 3/24 ÷ 3/3 = 1/8.

   Для этого найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и разделите их на это число. В нашем случае 96 делится на 12, поэтому мы упрощаем знаменатель до 1, а числитель до 8. Таким образом, 12/96 ÷ 12/12 = 1/8.

Метод 2 из 2:

Деление обыкновенных дробей

1. 1

   В одной из дробей поменяйте числитель и знаменатель местами и поменяйте знак умножения на знак деления. Скажем, вам надо разделить 1/2 на 18/20. Поменяем местами числитель и знаменатель второй дроби и получим вместо 18/20 20/18 и поменяем знак. Итак, 1/2 ÷ 18/20 = 1/2 x 20/18. Заметьте, все равно, какую дробь мы переворачиваем. 2/1 x 18/20 — и мы получим такой же результат.

2. 2

   Перемножьте числители и знаменатели и упростите ответ. Теперь – так же, как и с умножением. Перемножаем числители 1 и 20, получаем 20 в числителе. Перемножаем знаменатели 2 и 18, получаем 36 в знаменателе. Итого 20/36. Наибольший общий делитель – 4, делим и получаем упрощенный ответ 20/36 ÷ 4/4 = 5/9.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Советы

• Проверяйте свои решения.
• Целые числа могут быть записаны как дроби: 2 — то же, что и 2/1 .
• Для упрощения подсчетов можно сокращать по ходу решения, т.е. делить на диагонали на одно и то же число, например (8/20)*(6/12) можно сократить до (2/10)*(3/3).

• Выполняйте действия одно за другим, это снизит вероятность допущения ошибки.
• Обязательно сокращайте до конца, иначе ответ может быть не засчитан.

Понятие десятичной дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Вернемся к обыкновенным дробям позже, а сейчас обсудим десятичные дроби. Их знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

• 0,8
• 7,42
• 9,932

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.