С какими проблемами сталкиваются люди при изучении математики
Решают задачи быстро и неправильно
Это именно тот случай, когда количество не значит качество. На занятиях некоторые люди выполняют задания быстро, но неправильно. Вместо того чтобы сначала понять задачу и определить, что необходимо найти, сразу приступают к решению. Например, человек может предположить, что вычислить неизвестное можно сложением. Но на высокой скорости он не заметит, что в задаче есть отрицательные числа, и считать необходимо по-другому. Таким образом придётся заново возвращаться к задаче и всё переделывать. Это ведёт к демотивации, и предмет начинает ассоциироваться с неудачами и негативом.
Теряются посередине задачи
Рабочая память играет важную роль при решении комплексных математических задач. Информация, освоенная раньше, например похожий пример из учебника или формула, поможет справиться с новой задачей. Но если память не развита, можно легко запутаться в построении алгоритма нужных действий. Пропустив всего один шаг, можно полностью сбиться с курса и прийти к неверному ответу.
Не понимают свои ошибки
При решении задач следует всегда анализировать проделанную работу. Пройтись по уравнениям и убедиться, что всё правильно. Даже если кажется, что всё выполнено по правилам, ответ может быть неверным
В этом случае важно понять, где была допущена ошибка и разобраться, почему вычисления к ней привели. Умение анализировать и понимать свои ошибки — одна из важнейших составляющих процесса изучения математики
Математики Возрождения
После заката эллинической культуры математика Европы пережила несколько веков стагнации, пока новая плеяда умов не вдохнула в эту науку новые идеи. Назвать выдающихся математиков того времени намного сложнее, потому что их оказалось значительно больше, чем в Древней Греции.
Леонардо Пизанский
В европейской науке более известен как Фибоначчи. Жил и умер в городе Пиза (последняя треть XII — первая четверть XIII веков). Его отец, известный торговец, страстно хотел, чтобы сын продолжил семейное дело, поэтому брал юношу в далёкие поездки на Ближний Восток и даже в Северную Индию.
Здесь Леонардо познакомился с индийской и арабской математическими школами, которые в эти века значительно превосходили уровень европейской математики.
По возвращению в Европу написал ряд научных трудов, в том числе главный, по математике — «Книга абака». Леонардо ввёл в европейскую математику привычные нам арабские цифры, а также не менее привычную десятичную систему исчисления. Как истинный сын торговца, юноша внёс в математику понятие отрицательных чисел, называя их «долгом». Разработал основы бухгалтерского учёта.
Исаак Ньютон (1642 — 1727 гг.)
Выдающийся англичанин, классик физики, математики и астрономии. Среди нескольких его основных трудов есть один, касающийся математики, — «Математические начала натуральной философии». Это «Библия» классической механики, в которой приведены формулы для описания движения всех тел во Вселенной. Кроме того, Ньютон заложил основы дифференциального и интегрального исчислений.
Готфрид Лейбниц (1646 — 1716 гг.)
Этот немецкий учёный жил и творил в одно время с Ньютоном, и, независимо от последнего, создал основы математического анализа, опирающиеся на понятия бесконечно малых величин. Лейбниц представлял себе матанализ алгебраически, а не кинематически, как это делал Ньютон.
Леонард Эйлер (1707 — 1783 гг.)
В специальной литературе нередко можно встретить утверждение, что этот швейцарец является самым выдающимся математиком всех времён. Между прочим, он много лет прожил в России, в Петербурге, и даже многие свои работы написал на русском языке, который выучил в совершенстве всего за год!
Трудно найти отрасль математики, в которой Эйлер не написал бы хоть одну важную работу. Он впервые создал «математический оркестр», увязав множество доселе разрозненных дисциплин в единую систему математики. Язык современной математики нельзя представить без таких понятий, как «углы Эйлера» или «формула Эйлера». Некоторые математические вопросы до сегодняшнего дня преподают студентам «по Эйлеру».
Рене Декарт (1596 — 1650 гг.)
Когда мы говорили, что Ньютон и Лейбниц разработали основы математического анализа, справедливо было бы вспомнить, что их изыскания базировались не на пустом месте. Начальные идеи были известны ещё до работ этих учёных, а разработал их почти легендарный француз, Рене Декарт.
Современные математики считают его зачинателем аналитической геометрии. Он впервые ввёл понятия функции и переменной величины. С одним из достижений Декарта сталкивался практически каждый человек. Это система координат, известные всем шкалы «икс» и «игрек». Помимо этого, именно Рене ввёл в математику понятия гиперболы и параболы, овала и листа.
Жозеф Луи Лагранж (1736 — 1813 гг.)
В XVIII веке, наряду с Эйлером, этот француз считался лучшим европейским математиком. Был особенно силён в области математического синтеза. Разработал и доказал несколько важнейших теорем, в том числе «формулу конечных приращений».
Пьер-Симон Лаплас (1749 — 1827 гг.)
Много работал как астроном, но в математике известен как один из тех, кто разрабатывал теорию вероятностей. Специалистам известны уравнения его имени и преобразование Лапласа
Ввёл важное понятие математического ожидания
Иоганн Гаусс (1777 — 1855 гг.)
Мы говорили уже об отце математики — Пифагоре. А этого немца нередко называют королём математики. Гаусс написал ряд важнейших работ во многих отраслях этой науки, которые до сих пор остаются базовыми, классическими. Много работал в математическом анализе, в неэвклидовой геометрии, открыл так называемые «гауссовые числа», разработал модель комплексных чисел.
В учёбе
Где нужна: для написания контрольных, получения зачётов и сдачи экзаменов. В России математика преподаётся даже на самых гуманитарных направлениях в школах и вузах, где зачастую скромный объём программы с лихвой компенсируется атмосферой всеобщего трепета перед ней.
Парадокс: заговора математиков по проникновению во все отрасли не существует, но математика тем не менее повсюду.
В литературоведении арифметика нужна для выяснения стихотворного размера, а статистический анализ текста используется для определения авторства. Музыкальное образование начинается со счёта для развития чувства ритма, а художественное — с рисования простейших геометрических фигур.
В социальных науках математика помогает понять связи или корреляции между площадью и населением, выраженными в числах, и ситуацией в регионе или стране. Письменный перевод (лингвистическая дисциплина) уже стал разделом компьютерных наук и, в своей теоретической части, математики.
Формулы классической логики, которая является краеугольным камнем философского и юридического образования, прочно связаны как с математической теорией множеств, так и с булевой алгеброй, лежащей в основе современных компьютеров.
Как избежать. Полностью уклониться от математики в учёбе, скорее всего, не получится, так что встречайте неизбежное с полагающимся самураю достоинством. Тем не менее снизить вероятность совсем уж хардкорного хардкора можно следующими путями:
- Иногда вместо контрольных разрешается сдавать рефераты и доклады по истории математики или про применение математики в вашей специальности.
- Если вы получаете образование не в первый раз, то попытайтесь перезачесть математику из прошлых дипломов. Упирайте на то, что раньше трава была зеленее и математику преподавали лучше, даже если это было год назад.
- Попробуйте поучаствовать в какой-нибудь околоматематической активности «на зачёт» — например, в организации викторины в школе или в волонтёрской работе на Дне математики в вузе.
Фото: Andika Christian / Unsplash
Международный день математики — 14 марта, он же День числа пи. Неофициальный День математика в университетах нашей страны отмечается 1 апреля (не спрашивайте почему). Математикам Нобелевскую премию — учтите это, если будете сочинять преподавателю поздравление с этими праздниками.
Что и как изучить. Преподаватели, и не только математики, весьма чувствительны даже к малейшим признакам неуважения к своему предмету. Поэтому от вас требуются собранность, дисциплина и прилежание — или как минимум их убедительная видимость.
- Пользуйтесь интернет-ресурсами: сайтом Александра Емелина, YouTube-каналом 3Blue1Brown, уже упомянутой Академией Хана.
- Объединяйтесь в группы и чаты для совместного разбора тем и задач.
- Найдите репетитора — с соседнего факультета, из другого вуза или в интернете. Порекомендовать репетитора, разумеется, попросите самого преподавателя математики.
- И, конечно, не пропускайте уроки, лекции и семинары.
Будьте осторожны со шпаргалками из интернета — как правило, преподаватели знают их все наизусть. К тому же бездумное заучивание не даёт понимания — а того, кто не понимает, о чём говорит, на экзамене видно сразу. Соответственно, риск дополнительных вопросов → стыд-позор-провал → пересдача.
В быту
Где нужна. Математика — в виде элементарной арифметики — в повседневной жизни пригодится для расчёта:
- бюджета ежедневных покупок;
- количества ингредиентов в готовке и кулинарии;
- числа калорий при диете;
- интенсивности тренировок;
- времени и затрат на путешествия.
Начала геометрии (площади и объёмы простых фигур) потребуются, когда вы будете подсчитывать количество необходимых материалов для ремонта в доме. Более продвинутая математика (функции и сложные проценты) нужна, если вы оцениваете стоимость кредита, лизинга или решаете, куда вложить свободные средства.
Как избежать. В наши дни все перечисленные и многие другие задачи совершенно не обязательно решать самому. В смартфонах есть калькуляторы, а в интернете, App Store и Google Play — сайты и приложения для расчёта чего угодно: рецептов, финансов, тренировок и путешествий.
Для покупки отделочных и строительных материалов вам нужно просто сказать продавцу размеры комнаты, дома или участка. Если вы инвестируете, то в вашем личном кабинете на сайте банка или брокера уже есть готовые решения на любую стратегию.
Приложения, сервисы и специально обученные люди считают точнее и быстрее, чем вы. Реально, вам даже таблицу умножения можно неделями не вспоминать, если не месяцами. Сколько там будет 7 × 9? …Всё! — математическая программа на неделю выполнена.
Что изучить, если не избегать. Устный счёт — например, систему Трахтенберга или . Площади треугольника, прямоугольника, круга, объёмы параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса, шара. Теорему Пифагора и формулу Герона. Формулу сложных процентов и начало курса про финансовые рынки на сайте Академии Хана.
Как стать математиком с нуля
Математику вполне можно изучить самостоятельно. Особенно если у вас есть некоторый школьный багаж знаний. Чтобы стать хорошим математиком нужно придерживаться определенного плана действий.
Грамотное планирование. Для изучения абсолютно всей математики не хватит жизни. Вы должны понимать для чего вам нужна математика. Выбрав широкую тему, составьте план обучения. Так вам будет легче фиксировать ваши успехи.
Пользуйтесь надежными источниками информации. Википедия и гугл это хорошо, но следует подобрать подходящие учебники. В них информация систематизирована и вам будет проще держать руку на пульсе обучающего процесса.
Конспектируйте. Выделение основных моментов из прочитанного материала поможет в запоминании. А разбор решения ключевых задач поможет в практическом аспекте.
Подкрепляйте теорию практикой
Самостоятельно решите несколько задач по теме и сравните ваши ответы с правильными
Очень важно обратить внимание на неправильные ответы. Ведь негативный опыт не хуже позитивного
Не пренебрегайте возможностью консультаций с человеком, прекрасно знающим математику
Это может быть преподаватель или ваш друг с общежития. Такие консультации помогут вам найти свои ошибки и скорректировать дальнейший план обучения.
Требуйте задачек. Попросите вашего друга/родителя/сотрудника/однокурсника задать вам несколько задач. Чем больше разных задач – тем шире горизонт знаний.
Не отмахивайтесь от допущенных ошибок. Часто разбираясь с тем, где вы недоработали можно получить бесценный опыт.
Повторение – мать учения. Периодически просматривайте пройденные материалы.
Перед предстоящим экзаменом, контрольной работой или другой проверкой ваших знаний, начните готовиться заранее.
Посещение дополнительных продвинутых курсов – прекрасная идея. Только удостоверьтесь, что ваших знаний хватит для предложенного там уровня подачи материала. Не стоит переходить на следующий уровень сложности, если вы недостаточно уверенно себя чувствуете на существующем.
Твердо, до автоматизма, заучите математические основы.
Читайте книги
Парадоксально, но литература способна повысить интерес к математике и вдохновить на собственные исследования. Младшим школьникам и подросткам подойдут художественные рассказы о математике и необычные сборники и задачники. Советуем обратить внимания на эти книги: Лев Генденштейн «Алиса в Стране математики», Владимир Левшин «Магистр Рассеянных Наук: математическая трилогия», Игорь Шарыгин «Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы». В каждой из них яркий герой постигает премудрости математики, и без помощи читателя ему никак не справиться.
Лев Генденштейн «Алиса в Стране математики»
Для более старшего возраста подойдут биографии известных исследователей и научно-популярные книги. Предложите своему ребёнку прочитать «Удовольствие от X» Стивена Строгаца или «Магию математики» Артура Бенджамина.
Как развить математическое мышление
Математическое мышление тесно связано с пространственным, поэтому его прокачку следует начать с упражнений для пространственного мышления:
- Представьте две сближающиеся линии и определите место их пересечения. Затем представьте треугольник, наложенный на две линии. Что вы видите?
- Закройте глаза и попросите друга дать вам в руки какой-нибудь предмет. Изучите объект на ощупь в течение минуты и скажите, что это.
- Посмотрите на какой-нибудь небольшой предмет и попробуйте перенести его в реальном размере на бумагу. Затем снова скопируйте тот же объект, только увеличив или уменьшив в два раза.
- Начертите план своей комнаты со всеми предметами и деталями.
- Попробуйте сложить оригами, в интернете вы найдёте для этого множество самоучителей. Сначала представьте желаемую фигуру и постарайтесь проговорить необходимый порядок действий.
Также для развития математического мышления полезно как можно больше работать с цифрами. При необходимости любых вычислений в повседневной жизни старайтесь производить их в уме, без калькулятора.
Выполняйте специальные задачи и упражнения на логику, играйте в математические игры, решайте головоломки и ребусы, играйте в шахматы.
Восприятие – научиться видеть
Рисование в первую очередь связано со зрением и с пониманием того, что ты видишь. Люди часто предполагают, что все видят одно и тоже, но на самом деле это не так. Вы всегда сможете улучшить и наработать качество зрения. Чем больше рисуете, тем больше видите. Следующие четыре приема заставят расширить ваш взгляд на привычные предметы. Это именно то, с чего начинают учиться рисовать на разных курсах.
3. Контур – покажи мне свои руки!
Вы видите эти разные увлекательные контуры вашей руки? Нарисуйте их на листе бумаги. Не пытайтесь воссоздать все, выберите лишь несколько самых интересных.
Неважно рисуете ли человека, растение или ваше любимое животное – вы создаете контур того, что видите. Контуры определяют тело или объект и дают возможность распознать рисунок
Задача состоит не в том, чтобы сразу отобразить все существующие отличительные черты, а чтобы научиться их видеть!
Даже если вы знаете форму объекта, все равно стоит присмотреться и изучить его заново.
4. Кьяроскуро — накладываем свет и тень
Нарисуйте кусочек ткани. Начните с контуров, а затем используйте навыки штрихования – найдите переходы светотени.
Это упражнение поможет вам научиться передавать свет и тень на бумаге. Я должен признать, что это не самый простой способ для начинающих. Имейте в виду, что необязательно делать идеальные переходы светотени. Ткань представляет собой игровое поле, чтобы попрактиковать навыки, полученные в предыдущих уроках. Плюс вы также поймете, как научиться рисовать светотень, используя только свою кисть руки.
Совет. Можете делать изогнутую штриховку для создания формы и перекрестную для достижения более глубоких теней, которые напоминают структуру ткани.
Совет. Прикройте глаза ненамного, когда смотрите на ткань. Вы увидите размытое изображение ткани и усиленный контраст между светотенью.
5. Перспектива — кубы в трехмерном пространстве
Давайте нарисуем кубики! Следуйте простым действиям.
Рисунок в перспективе – это проекция 3D объекта в 2D пространство (ваш лист бумаги).
Построение перспективы – это отдельная наука, которую нереально полностью рассмотреть в рамках одной статьи. Однако мы можем немного позабавиться в пределах простой техники, которая дает нам интуитивное чувство магии создания рисунка в перспективе.
Шаг 1. Нарисуйте горизонтальную линию. Это будет горизонт.
Шаг 2. Поставьте две точки по краям линии — две невидимые точки схода.
Шаг 3. Нарисуйте вертикальную линию в любом месте.
Шаг 4. Соедините концы вертикальной линии с точками схода.
Шаг 5. Добавьте еще две вертикальные линии, как указано ниже.
Шаг 6. Соедините их с точками схода.
Шаг 7. Теперь используйте черный карандаш или ручку, чтобы обвести кубик.
Повторите шаги с 3 по 7 столько, сколько пожелаете. Насладитесь построением! Получайте удовольствие от рисования, тогда у вас все получится. Можете заштриховать стороны куба.
Совет. Когда вы рисуете перекрестные линии, лучше слегка наложить одну линию на другую, так лучше видна форма.
Освоение перспективных чертежей поможет вам создавать иллюзию глубины. А самое главное, вы научите свой мозг видеть и распознавать трехмерное пространство. Это отличная практика как начать рисовать с нуля без каких-либо навыков.
Даже если решите пренебречь правилами перспективы и сделать «плоские рисунки», эти знания никогда не будут лишним, а наоборот поспособствует расширению вашего кругозора и обострению зрительного рецептора.
6. Построение композиции — почему именно здесь?
Сделайте 5 разных рисунков одного объекта. Располагайте предмет по-разному каждый раз.
Композиция – отличный инструмент для того, чтобы выразить «послание», которое хотите передать в вашей работе.
Чтобы понять, с чего начать учиться рисовать композицию, мы должны иметь в виду, что наше восприятие формируется ежедневными переживаниями и эмоциями. Например, горизонтальные линии и вертикальные линии кажутся нам более «стабильными», чем диагональные, которые могут «упасть» в любую секунду. И когда мы видим большую темную форму на дне предмета, мы предполагаем, что он тяжелый (как и Bold шрифты смотрятся массивнее).
По мере того, как будете создавать различные варианты расположения своего предмета на бумаге, старайтесь проследить то, как это меняет его коннотацию – значение.
P.S. Бесплатный и полный SEO анализ страницы сайта — sitechecker.pro. В раскрутке важны не только внешние факторы, но и сам веб-проект должен быть хорош.
Начните играть, чтобы полюбить математику
Компьютерные и настольные игры отлично способствуют развитию интереса к математике. Преимущество настолок в том, что это увлечение для всей семьи. Интересная математическая игра «7 на 9» понравится и детям, и взрослым. В ней каждая карта закрывается той, на которой сумма изображённых цифр выше. Это отличный способ тренировки устного счёта и быстроты реакции: кто раньше избавится от карт, тот и выиграл.
В интернете можно найти много бесплатных интерактивных головоломок. Например, в приложении «Math. Пазлы и математическая игра» сто уровней сложности, в каждом из которых оригинальная задача — удобная и быстрая тренировка, которая поможет увлечься математикой.
